Matematické Fórum

Krokzakrokem

Dobrý den. Prosím o radu k řešení následujících příkladů. Jak prosím položit základní a indukční krok? Nevíte prosím, jestli je potřeba příklady řešit silným principem indukce nebo stačí slačí slabý princip? Předem mockrát děkuji:

1) Je známo, že pro libovolná komplexní čísla $x_{1}, x_{2} \in C$ plat9 trojúhelníková nerovnost |x1| + $|x_{1}| \le |x_{1} + x_{2}|$ . Pomocí matematické indukce dokažte následující zobecnění trojúhelníkové nerovnosti pro libovolnou posloupnost z : $N^{+} \rightarrow C$ a pro libovolné přirozené číslo $n \in N^{+}$ :
$|\sum_{i=1}^{n} z_{i}| \le |\sum_{i=1}^{n} |z_{i}|$ .

2) Pro libovolnou funkci f : X → X a pro každé číslo $n \in N$ jsou definovány mocniny funkce f následujícími vztahy:
$f^{0} := id_{x}, f^{n+1} := f \circ f^{n}$ . Funkce $id_{x} : X \rightarrow X$ je identita na množině X, tj,: $id_{x} (x) = x$ platí proto $id_{x} \circ g = g \circ id_{x}$ pro libovolnou funkci g : X → X. Matematickou indukcí dokažte, že pro takto definované mocniny funkce f platí známé pravidlo pro počítání s mocninami $f^{m+n} = f^{m} \circ f^{n}$ pro všechna $m, n \in N$ .

3) Matematickou indukci dokažte, že $\sum_{i=1}^{n}{k\cdot 2k}$ = $2 + (n - 1)\cdot2^{n+1}$ pro všechna n ≥ 1.