Matematické Fórum

↑ PetrKom:

Ahoj.

Nepochopil jsem (snad moje chyba), odkud se vzala rovnost (předpokládám, že maticová)

1 2 -1 = 1     
-1 3  0 = 1 .

Lze postupvat i následovně:

Podminky ze soustavy

            A(1,1,0)=(1,-1)
(0)       A(1,0,1)=(2,3)
            A(0,1,1)=(-1,0)

můžeme sečíst na 

(1)        A(1,1,0)  +  A(1,0,1)  +  A(0,1,1)  =  (1,-1) + (2,3) + (-1,0) ,

kde pravá strana je zřejmě (2, 2)  a levá strana díky linearitě zobrazení A bude A(2,2,2). Z (1) tak dostáváme

            A(2, 2, 2) = (2, 2) ,

což lze  vydělit dvěma, čímž obdržíme (opět díky lineritě zobrazení A)

            A(1, 1, 1) = (1, 1) .

Jedno řešení rovnice A(x) = (1,1) je tedy  u = (1, 1, 1) .  Obecné řešení pak bude mít tvar  x = u + y,

kde y probíhá množinu všech řešení rovnice

(2)                           A(y) = (0, 0) .

Atd.

POKRAČOVÁNÍ .

Vektory   (1,1,0) ,  (1,0,1),  (0,1,1)  jsou lineárně nezávislé (například proto, že matice s těmito řádky má nenulový
determinant) a jsou 3,  tudíž tvoří bázi prostoru R3.  Libovolný vektor y z tohoto prostoru se tedy dá zapsat ve tvaru 

(3)                     y = r(1,1,0) + s(1,0,1) + t(0,1,1)

a tedy (opět z linearity zobr. A)

    A(y) =  rA(1,1,0) + sA(1,0,1) + tA(0,1,1) =  r(1,-1) + s(2,3) + t(-1,0) = (r + 2s - t,  -r + 3s) .

Rovnice (2) bude splněna právě tehdy, když čísla r, s, t  v (3) budou vyhovovat soustavě

                                     r + 2s - t = 0,  -r + 3s  = 0 ,

tj.   r = 3s,  t = 5s , s  libovolné reálné.  Potom bude 

        y = r(1,1,0) + s(1,0,1) + t(0,1,1) = (3s, 3s, 0) + (s, 0, s) + (0, 5s, 5s) = (4s, 8s, 6s) .

Když  položíme s = a/2 , máme y = (2a, 4a, 3s) = a(2,4,3) .


ZÁVĚR.

Všechna řešení rovnice  A(x) = (1,1)  jsou   x = (1, 1, 1) + a(2,4,3) ,  kde parametr a probíhá množinu
všech reálných čísel.

Porovnání, zda jsme oba našli tutéž množinu, jsem už neprováděl.

Zdravím vespolek.
Úloha mne positivně zaujala natolik, že jsem se rozhodl dovést řešení ve svém příspěvku do konce.
Použitá metoda vychází z konkretních vektorů, o něž se zadání opírá. Kdyby tyto vektory byly zadány jinak,
musela by se metoda tomu přizpůsobit.