Matematické Fórum

malarad · 08. 02. 2016 23:50

Hezký večer, lze tato limita spočítat i jinak, než L Hopitalem?
$\lim_{x\to0}\frac{x-arctg\ x}{x^{3}}$

Jj · 09. 02. 2016 00:26

↑ malarad:

Dobrý večer.

Napadá mě jen Taylorův rozvoj arctg:

$\lim_{x\to0}\frac{x-arctg\ x}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{x-(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{3}-\frac{x^2}{5} +\cdots\right) = \frac{1}{3}$

malarad · 09. 02. 2016 00:29

↑ Jj:
to je zajímavé řešení, děkuji

Freedy · 09. 02. 2016 09:52

Ahoj,

co třeba toto:
$\frac{\text{arctg}(\text{tg}x)-\text{arctg}(x)}{x^3}=\frac{\text{arctg}\frac{\text{tg}x-x}{1+x\text{tg}x}}{\frac{\text{tg}x-x}{1+x\text{tg}x}}\cdot \frac{\text{tg}x-x}{x^3(1+x\text{tg}x)}$
Zajímá tě tedy limita:
$\lim_{x\to0} \frac{\text{tg}x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}+\frac{1}{2}$
a řešení limity $\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$ se provádělo pěknými způsoby zde

malarad · 09. 02. 2016 13:15

↑ Freedy:
taky zajímavé, dík

Matematické Fórum

#1 08. 02. 2016 23:50

Limita

#2 09. 02. 2016 00:26

Re: Limita

#3 09. 02. 2016 00:29

Re: Limita

#4 09. 02. 2016 09:52

Re: Limita

#5 09. 02. 2016 13:15

Re: Limita

Zápatí