Matematické Fórum

Hanuna2 · 08. 02. 2016 11:59

Dobrý den,
navedete mě, prosím, jak přijít na následující úlohu? Mám křížky a kolečka v následujících obrázcích.

- Kolik křížků, koleček je v k-tém seskupení?
- Kolik koleček je v seskupení s 25 křížky?

xox
oxo
xox

xooox
oxoxo
ooxoo
oxoxo
xooox

xooooox
oxoooxo
ooxoxoo
oooxooo
ooxoxoo
oxoooxo
xooooox

H

Rumburak

↑ Hanuna2:

Zdravím.

Jde o posloupnost jakýchsi znakových řetězců. Soustředil bych se nejprve na délky těchto řetězců, tj. počty
znakových posic (obsazených znaky 0, x) v těchto řetězcích:

první 3 členy (tj. řetězce) x0x, 0x0, x0x mají délku 3, pak následuje 5 členů délky 5, potom 7 členů délky 7.

Dejme tomu, že i další členy posloupnosti jsou konstuovány analogicky dle tohoto principu.
Odtud můžeme odvodit, jakou délku bude mít n-tý řetězec v této posloupnosti atd.

Obávám se, že člen s 25-ti křížky v uvedené posloupnosti neexistuje.

EDIT. Zdá se, že jsem úlohu nepochopil správně - jako "seskupení" jsem vnímal řádek.

marnes · 08. 02. 2016 14:45

↑ Hanuna2:
V prvním seskupení je 5 křížků
V druhém je o čtyři více - 9 křížků
ve třetím je o další čtyři více - 13 křížků atd
17, 21, 25,...
takže v šestém seskupení bude 25 křížků

počet křížků v k-tém seskupení 1+4k kde k=1,2,3,...

odpověď na kolečka už dáš

Hanuna2 · 09. 02. 2016 10:43

Odpověď na kolečka:

Sestavím si řadu "koleček", jako máte vy: 4, 16, 36 , 64, 100, ...

4, 16, 36 , 64, 100, ...
rozdíl: 12 20 28 36
rozdíl rozdílů: 8 8 8

Ale nevím, jak to zapsat obecným zápisem.

H

marnes · 09. 02. 2016 11:38 — Editoval marnes (09. 02. 2016 11:40)

↑ Hanuna2:
Řešil bych jinak.
Všimni si, že jde vždy o seskupení o stejném počtu řádků a sloupců
3x3
5x5
7x7 atd

Obecně $(2k+1)\cdot (2k+1)$
proto tam bude vždy
$(2k+1)^{2}$ znaků (koleček a křížků dohromady)
už víme, že v k-tém seskupení je $1+4k$ křížků
Když tedy odečteme od všech znaků křížky, tak zůstanou kolečka
Počet koleček je tedy
$(2k+1)^{2}-(1+4k)$
po úpravě
$(2k+1)^{2}-(1+4k)=4k^{2}+4k+1-1-4k=4k^{2}$
což odpovídá tvé úvaze 4;16;36;...