Matematické Fórum

Pavel · 07. 02. 2016 23:45 — Editoval Pavel (08. 02. 2016 15:00)

Rozhodněte, zda existuje limita posloupnosti:

$\lim_{n\to\infty}\bigl|\cos(n)\bigr|^{1/n}$

vanok · 09. 02. 2016 15:14

Ahoj ↑ Pavel:,
Nemam cas da velmi zaoberat tvojim problemov.
Jedna stopa je, vysetrenie tohto, ze ak $\lim_{n\to\infty}\bigl|\cos(n)\bigr|^{1/n}$ existuje a je L, potom $\lim_{n\to\infty}\bigl|\cos(n+1)\bigr|^{1/(n+1)}=L$

Pavel · 09. 02. 2016 21:12

Zadaná limita je zvláštní tím, že k jejímu vyřešení nestačí nástroje běžné analýzy. Je nutné využít iracionality čísla $\pi$ . Podrobnosti uvedu dále.

Jen pro zajímavost uvádím další limity posloupností, jež na první pohled vypadají triviálně. Opírají se o stejnou myšelenku jako výpočet limity zadané. Nicméně každá z nich vede k rozdílnému závěru:

$&\lim_{n\to\infty}\left(n\sin^2 n\right)\\ &\lim_{n\to\infty}\left(n^6\sin^2 n\right)\\ &\lim_{n\to\infty}\left(n^{15}\sin^2 n\right)$

byk7 · 10. 02. 2016 02:57

(Prý) ještě zajímavější je $\lim_{n\to\infty}\cos(n!)$ .

vanok · 10. 02. 2016 03:20 — Editoval vanok (10. 02. 2016 08:12)

Dovolim si pridat tuto poznamku, tykaju postupnosti
$(\cos(n))^{(n^{\alpha})}$
ktora je husta na [-1,1] pre $0<\alpha<2$ ( v dokaze sa pouziva rozvoj do retazoveho zlomku cisla $\pi$ ) . A naviac, tato postupnost ma zlastne vlasnosti pre $\alpha =2$

check_drummer · 10. 02. 2016 18:46

↑ Pavel:
Ahoj, neformálně:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zajímalo by mě, zda to, že k vyřešení nestačí běžné nástroje analýzy je matematické tvrzení - a nebo zda máš na mysli jen konkrétní postup hledání té limity, který znáš - a třeba existuje jiný, který si s běžnou analýzou vystačí.

Pavel · 12. 02. 2016 22:09

↑ check_drummer:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Možná existuje postup využívající pouze postupů z běžné analýzy. Svoje tvrzení odvozuji z toho, že chování posloupnosti těsně souvisí s algebraickými vlastnostmi čísla $\pi$ .

Pavel · 12. 02. 2016 23:19

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 12. 02. 2016 23:46

Na základě výše uvedených úvah lze pak ukázat, že

I. $\lim_{n\to\infty}\left(n\sin^2 n\right)\ \text{neex.}$

II. $\lim_{n\to\infty}\left(n^{15}\sin^2 n\right)=\infty$

III. na základě dnešního stavu vědění o existenci limity $\lim_{n\to\infty}\left(n^6\sin^2 n\right)\ \text{nelze rozhodnout}$

vanok · 13. 02. 2016 00:31 — Editoval vanok (13. 02. 2016 01:52)

Ahoj ↑ Pavel:,
A co sa vie o hustote $\left(n\sin^2 n\right)$ v R?

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2016 23:45 — Editoval Pavel (08. 02. 2016 15:00)

Limita posloupnosti

#2 09. 02. 2016 15:14

Re: Limita posloupnosti

#3 09. 02. 2016 21:12

Re: Limita posloupnosti

#4 10. 02. 2016 02:57

Re: Limita posloupnosti

#5 10. 02. 2016 03:20 — Editoval vanok (10. 02. 2016 08:12)

Re: Limita posloupnosti

#6 10. 02. 2016 18:46

Re: Limita posloupnosti

#7 12. 02. 2016 22:09

Re: Limita posloupnosti

#8 12. 02. 2016 23:19

Re: Limita posloupnosti

#9 12. 02. 2016 23:46

Re: Limita posloupnosti

#10 13. 02. 2016 00:31 — Editoval vanok (13. 02. 2016 01:52)

Re: Limita posloupnosti

Zápatí