Matematické Fórum

slender

Zdravím,
poněkud zápasím s touto limitou:
$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-2}-\sqrt{n^2+1}}\cdot\ln\frac{n+2}{n}\right)$

Pokusil jsem se ji vyřešit pomocí l'Hospitala, ale mám pocit, že jsem to tím ještě zkomplikoval:
$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-2}-\sqrt{n^2+1}}\cdot\ln\frac{n+2}{n}\right)= -\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{n^2-2}+\sqrt{n^2+1}}{3}\right)'}{\left(\frac{1}{\ln\frac{n+2}{n}}\right)'}\right)=\nl=-\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\right)\left(n+2\right)\left(\ln\left(\frac{n+2}{n}\right)\right)^2}{6}$

Poradil by mi někdo, prosím?

Sherlock · 11. 02. 2016 19:06

Možná by bylo lepší to rozšířit na $\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n^{2}-2}+\sqrt{n^{2}+1}}{-3}\ln (1+\frac{2}{n})$

Pak by stačilo ukázat, jak se chová $L=\lim_{n\to\infty }\sqrt{n^{2}-2}\cdot \ln (1+\frac{2}{n})$ (+ ta druhá odmocnina)

Pavel · 11. 02. 2016 19:17

↑ Sherlock:

$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n^{2}-2}+\sqrt{n^{2}+1}}{-3}\cdot\ln (1+\frac{2}{n})= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n^{2}-2}+\sqrt{n^{2}+1}}{-3}\cdot\frac{2}{n}$

Platí totiž

$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac 2n)}{\frac 2n}=1$

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2016 15:32 — Editoval slender (11. 02. 2016 17:18)

Limita funkce s přirozeným logaritmem

#2 11. 02. 2016 19:06

Re: Limita funkce s přirozeným logaritmem

#3 11. 02. 2016 19:17

Re: Limita funkce s přirozeným logaritmem

Zápatí