Matematické Fórum

cetis · 12. 02. 2016 00:44

Zdravím,

neporadil by někdo prosím s vyšetřením konvergence této řady?

$\Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{n^{n^2}}{(n!)^n}$

Xellos · 12. 02. 2016 00:51

$n^n^2=n^{(n^2)}=(n^n)^n$ , porovnaj s faktorialom; aku nerovnost pre kadzy clen to dava?

cetis · 12. 02. 2016 08:15

↑ Xellos:

To druhý $n^{(n^2)}$

cetis · 12. 02. 2016 09:21

Ta řada má podle výsledků divergovat. Moc mě popravdě nenapadá jakým faktoriálem ji srovnat.

Rumburak · 12. 02. 2016 10:19

↑ cetis:
Ahoj.

Zkusil bych použít v prvé řadě Cauchyho kriterium, konvergence pak bude záviset na chování posloupnosti $$\frac{n^{n}}{n!}$$ .

Kdyby to nebylo ještě jasné, existuje formule s názvem Stirligův vzorec.

cetis · 12. 02. 2016 10:49

↑ Rumburak:

Když použiju cauchyho kriterium tak to bude vypadat takhle

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{n^2-n}}{n!}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{n^2-n}}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{n^2-2n}\mathrm{e}^{n}}{\sqrt{2\pi n}}$

nebo

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{n}}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{n}}{\sqrt{2\pi n}}$

cetis · 12. 02. 2016 10:50

Ale to mi nic neříká

cetis · 12. 02. 2016 10:58

Kecám, to první je špatně, to druhý je dobře.

$\lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{n}}{\sqrt{2\pi n}}$

ale co s tímhle potom?

Rumburak · 12. 02. 2016 11:44

↑ cetis:

V prvním postupu je chyba při úpravě n-té odmocniny z čitatele.

Druhý postup je (až na formality, k nimž se vrátím) správně (předpokládám, že je i správně opsán St. vzorec,
jehož přesný tvar si nepamatuji). S poslední limitou by sis měl vědět rady - její hodnota je $+\infty$ ( $\mathrm{e}^n$ je
"silnější" než $n^a$ , kde $a$ je libovolná konstanta).

Po té formální stránce by mělo být např. (i když poněkud hrubě)

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{n}}{n!}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{n}}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}\cdot \frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}{n!}= ...$

vyžívajíce vlastnosti zlomku $\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}{n!}$ dané příslušnou větou.

Ale St. vzorec zde není nezbytný, zlomek $\frac{n^{n}}{n!}$ lze i vhodně odhadnout zdola. Platí $\frac{n^{n}}{n!} = \frac{n}{1}\cdot \frac{n}{2} \cdot ... \cdot \frac{n}{n-1}\cdot \frac{n}{n}$ ,

kde pro $n > 1$ je každý ze zlomků v součinu na pravé straně větší nebo roven 1 , takže

$\frac{n^{n}}{n!} = \frac{n}{1}\cdot \frac{n}{2} \cdot ... \cdot \frac{n}{n-1}\cdot \frac{n}{n} \ge \frac{n}{1} = n$ ,

což nám k výpočtu limity z Cauchyova kriteria stačí.