Matematické Fórum

kulitafak

Srdečne zdravím,

je daná postunosť:
kde n=1 -> oo
$(n^2+1)/(n^2)$

mám určiť maximum, minimum, infimum a superémum

vyšlo mi, že
maximum = 2
minimum neexistuje
suprémum = 1
infimum = 2

prosím o skontrolovanie výsledkov, po prípade ak by bolo v niečom zle .. prosím o lepšie vysvetlenie infiima a supréma..

snažil som sa pochopiť:
"Suprémum množiny reálnych čísel A je číslo K také, ktoré je najmenším horným ohraničením"
nechápem tomu "je najmenším horným ohraničením" - čo je horné ohraničenie viem, ale to "najmenším" ..

ďakujem a ostávam s pozdravom,
pekný deň.

byk7 · 13. 02. 2016 20:49

max, min --> ok

Supremum je nejmenší horní závora. Např. posloupnost $2+1/n^3$ je shora omezena čísly $3,\pi,4,\sqrt{17},\tfrac{37}{9}$ , protože pro každé z těchto čísel $x$ a pro každé kladné celé $n$ platí $2+1/n^3\le x$ . Teď si vezmi všechna čísla $x$ splňující nerovnost $2+1/n^3\le x$ a vyber z nich to nejmenší, potom toto číslo bude supremem posloupnosti $2+1/n^3$ .

kulitafak

↑ byk7:
trošku tomu nerozumiem, vedel by si mi to priblížiš k môjmu príkladu?

aké je potom infimum a suprémum v mojom zadaní?

kajzlik

Ahoj,

pro tvůj případ platí například to, že můžeš posloupnost $a_n=\frac{n^2+1}{n^2}$ omezit shora např. čísly $2,3,5,10$ apod.

V definici suprema se požaduje, aby to číslo bylo nejmenší možné. Nejmenší možné číslo, které můžes použít k omezení $a_n$ je číslo $2$ . Není náhoda, že číslo dva je zároveň maximem. Lze ukázat, že pokud maximum existuje a pokud je konečné, pak je rovno supremu. Obdobně také vztah mezi infimem a minimem. Dokážeš už určit jakou hodnotu bude infimum mít ?

kulitafak

↑ kajzlik:

dakujem ti veľmi, čo sa týka suprému si mi pomohol veľmi.

infimum sa takisto ako supremum, len podľa tých podmienok, čo sú v definícií infima, že?
tak infimum je 1? alebo nemá infimum?

kajzlik

U infima je to naprosto obdobné. Akorát se tam požaduje největší dolní závora.

Tvoje posloupnost je ostře klesající. Jaká je limita $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2+1}{n^2}$ . Z toho už je vidět, jake je infimum.

Edit. Každá reálná posloupnost má infimum i supremum. I kdyby to měla být nekonečna. Maximum/ minimum mít nemusí, jak je vidět z tvého příkladu.

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2016 20:05 — Editoval kulitafak (13. 02. 2016 20:06)

max,min,sup,inf

#2 13. 02. 2016 20:49

Re: max,min,sup,inf

#3 13. 02. 2016 21:21 — Editoval kulitafak (13. 02. 2016 21:22)

Re: max,min,sup,inf

#4 13. 02. 2016 21:41 — Editoval kajzlik (13. 02. 2016 21:43)

Re: max,min,sup,inf

#5 13. 02. 2016 21:55 — Editoval kulitafak (13. 02. 2016 22:07)

Re: max,min,sup,inf

#6 13. 02. 2016 22:11 — Editoval kajzlik (13. 02. 2016 22:25)

Re: max,min,sup,inf

Zápatí