Matematické Fórum

KubaP · 14. 02. 2016 15:35 — Editoval KubaP (14. 02. 2016 15:37)

Ahoj, mám dotazy na pár limit a jejich správnost výsledku..
$\lim_{x\to\infty }x^{x}=\infty$
Tady si nejsem jistý, ale nekonečno na nultou je neurčitý výraz? Takže výsledek není definován nebo je to jedna, a nebo jak to spočítat?
$\lim_{x\to\infty }x^{\frac{1}{x}}\doteq \lim_{x\to\infty }x^{0}=1$
Podobný příklad jako předchozí.. Také neurčitý výraz? Případně jak na to?
$\lim_{x\to\infty }(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}\doteq \lim_{x\to\infty }0^{\frac{1}{x}}\doteq 0^{0}=\text{není def.}$

Jj · 14. 02. 2016 16:01

↑ KubaP:

Dobrý den.

Ano, jedná se o neurčité výrazy. Řekl bych, že je možný převod na jednodušší případy:

$\lim_{x\to\infty }x^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty }e^{\frac{1}{x}\,\ln x}$ --> řešit limitu $\lim_{x\to\infty }e^{\frac{1}{x}\,\ln x}$

$\lim_{x\to\infty }(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty }e^{\frac{1}{x}\,\ln \frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty }e^{-\frac{1}{x}\,\ln x}$ , což je v podstatě totéž co v předchozí límítě.

KubaP · 14. 02. 2016 16:17

Aha, takže díky spojitosti logaritmické i exponenciání funkce to řeším jako
$e^{\lim_{x\to\infty }\frac{\ln x}{x}}$ a zde už mohu použít třeba L´Hopitala..
Chápu to správně?

Jj · 14. 02. 2016 16:17

↑ KubaP:

Ano.

KubaP · 14. 02. 2016 16:19 — Editoval KubaP (14. 02. 2016 16:36)

Děkuji :)

EDIT:
Pokud bych měl $\lim_{x\to\infty } (-x)^{\frac{1}{x}}$
Lze toto nějak řešit v oboru reálných čísel? Protože každé sudé x by pak nešlo spočítat nemýlím-li se?

Xellos · 14. 02. 2016 19:03

↑ KubaP:

Ako by si to definoval? Co je $(-1)^{1/x}$ v realnych cislach pre realne $x$ ?
Mocnina je v realnych cislach definovana len pre kladny zaklad, cez exponencialu: $x^y=e^{y\ln{x}}$ , kde $x$ musi byt kladne realne aby jeho logaritmus existoval.
V komplexnych cislach je zasa definovana lubovolna mocnina, do nekonecna sa ale da limitit iba absolutna hodnota komplexneho cisla.

KubaP · 14. 02. 2016 21:04

Takže to nejde :) Takovéto zadání nemá řešení :)

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2016 15:35 — Editoval KubaP (14. 02. 2016 15:37)

Limita funkce s nekonečnem

#2 14. 02. 2016 16:01

Re: Limita funkce s nekonečnem

#3 14. 02. 2016 16:17

Re: Limita funkce s nekonečnem

#4 14. 02. 2016 16:17

Re: Limita funkce s nekonečnem

#5 14. 02. 2016 16:19 — Editoval KubaP (14. 02. 2016 16:36)

Re: Limita funkce s nekonečnem

#6 14. 02. 2016 19:03

Re: Limita funkce s nekonečnem

#7 14. 02. 2016 21:04

Re: Limita funkce s nekonečnem

Zápatí