Matematické Fórum

Hansikii · 14. 02. 2016 19:22

Ahoj, je tento můj výpočet správný ?:) $\int_{}^{}\frac{x}{(x+1)^{3}}$
Můj postup pomocí substituce:

$t=(x+1)^{3}$ , $dt=3(x+1)dx$ , $\frac{dt}{(3x+3)}=dx$ . Po dosazení to bude vypadat takhle: $\int_{}^{}\frac{x}{t}*\frac{dt}{(3x+3)}$ , $\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{1}{t}*dt=\frac{1}{6}\ln |t|+c=\frac{1}{6}\ln |(x+1)^{3}|+c$

Al1 · 14. 02. 2016 19:44 — Editoval Al1 (14. 02. 2016 19:45)

↑ Hansikii:

Zdravím,
chyba je hned na začátku substituce

$t=(x+1)^{3}\nl$

$\ dt=3(x+1)^{2}\ dx$

Raději bych volil substituci $t=x+1$

Hansikii · 14. 02. 2016 20:00

↑ Al1:
Jo chyba je jasná :) Ale kdybych zvolil tu substituci co jste navrhoval, tak bych se nezbavil toho x v čitateli ne ? To taky nikam nevede.

Al1 · 14. 02. 2016 20:06 — Editoval Al1 (14. 02. 2016 20:07)

↑ Hansikii:

$\int_{}^{}\frac{x}{(x+1)^{3}}\ dx=|t=x+1, \ dt =\ dx|=\int_{}^{}\frac{t-1}{t^{3}}\ dt=\ldots$ , protože z $t=x+1$ se odvodí $x=t-1$

Hansikii · 14. 02. 2016 20:22

↑ Al1:

Jo takhle :) Tyjo s takovým řešením jsem se ještě nesetkal :o Super, že už to vím :) Zkusím to tedy dopočítat tím vaším způsobem. $\int_{}^{}\frac{t-1}{t^{3}}\ dt=\int_{}^{}\frac{t}{t^{3}}dt-\int_{}^{}\frac{1}{t^{3}}dt$
První integral: tam se to tečko podělí, takže dostanu: $\int_{}^{}\frac{1}{t^{2}}dt=\int_{}^{}t^{-2}dt=\frac{t^{-1}}{-1}+c$ a vratím se zpatky k substituci: $-\frac{1}{(x+1)}+c$

Druhý integral: $-\int_{}^{}\frac{1}{t^{3}}dt=-\int_{}^{}t^{-3}dt=-\frac{t^{-2}}{-2}+c$ a vrátí mse zpátky k substituci: $\frac{1}{2*(x+1)^{2}}+c$
Výsledný integral bude součet prnvího a druhého takže: $-\frac{1}{(x+1)}+c$ + $\frac{1}{2*(x+1)^{2}}+c$

Al1 · 14. 02. 2016 20:34

↑ Hansikii:

Celkový výsledek:

$\int_{}^{}\frac{x}{(x+1)^{3}}\ dx=\frac{1}{2(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)}+c$

Tvoje konstanty c se sloučí do jediné (správně bys měl psát u jednotlivých mezivýsledků konstanty $c_{1}, c_{2}$ , ale ony se stejně většinou nepřipisují a napíše se až jedna v konečném výsledku.)

Hansikii · 14. 02. 2016 20:36

↑ Al1:
Jo jasný, o těch konstantách vím, že je tam zapomínám, ale do toho konečného výsledku je většinou napíšu :) Děkuji moc :))

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2016 19:22

Integral - substituční metoda

#2 14. 02. 2016 19:44 — Editoval Al1 (14. 02. 2016 19:45)

Re: Integral - substituční metoda

#3 14. 02. 2016 20:00

Re: Integral - substituční metoda

#4 14. 02. 2016 20:06 — Editoval Al1 (14. 02. 2016 20:07)

Re: Integral - substituční metoda

#5 14. 02. 2016 20:22

Re: Integral - substituční metoda

#6 14. 02. 2016 20:34

Re: Integral - substituční metoda

#7 14. 02. 2016 20:36

Re: Integral - substituční metoda

Zápatí