Matematické Fórum

Hansikii · 14. 02. 2016 20:12

Ahoj, lze řešit tento příklad tímto způsobem ? :) $\int_{}^{}2\sin x\cos x$ .

Chtěl bych ho řešit přes per partes: Nejdřív bych si hodil tu dovjku před integral $2\int_{}^{}\sin x\cos x$ , derivoval bych $u=\sin x$ , $du=\cos$ , integroval bych $v=\cos x$ , $v=\sin x$ . a dostávám: $2*(\sin ^{2}x-\int_{}^{}\cos x\sin x)=2*\sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x$
Teď bych to přepsal do rovnice, levá strana by byla puvodní integral a prava strana by tvořila ten integral, který jsem doteď počítal, takže rovnice bude vypadat takhle: $2\int_{}^{}\sin x\cos x=2*\sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x$ $4\int_{}^{}\sin x\cos x=2*\sin ^{2}x$ $\int_{}^{}\sin x\cos x=\frac{2*\sin ^{2}x}{4}+c=\frac{1}{2}\sin ^{2}x+c$

Je tento postup správný ? Vím, že by to šlo i přes substituci, kde by stačilo si zvolit, že $t=\sin x$ , ale mě zajímá, jestli to jde taky takhle :)

Al1 · 14. 02. 2016 20:17 — Editoval Al1 (14. 02. 2016 20:27)

↑ Hansikii:

Zdravím,

já bych využil rovnosti $2\sin x\cos x= \sin(2x)$

Lze samozřejmě užít i metodu per partes. V ní jsi ale udělal chybu:

$\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx=2\cdot \sin ^{2}x-\int_{}^{}2\cos x\sin x\ dx$ .

Pokud převedeme na rovnici pro daný inetgrál a dořešíme, pak

$\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx+\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx=2\cdot \sin ^{2}x\nl 2\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx=2\cdot \sin ^{2}x\nl \int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx=\sin ^{2}x+c$

Poznámka: myslím, že pdobnou chybu jsi udělal i při řešení zde

Hansikii · 14. 02. 2016 20:26

↑ Al1:
To by pak šlo substitucí a substitoval bych $t=2x$ , p odosazení bych dostal: $\int_{}^{}\sin t*\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}(-\cos t)+c=-\frac{1}{2}\cos 2x+c$ . Ale mně bv zajímalo, jestli je tamto moje řešení správné hlavně :)

Al1 · 14. 02. 2016 20:39

↑ Hansikii:

Doplnil jsem odpověď v #2

Hansikii · 14. 02. 2016 21:10

↑ Al1:
Děkuji za doplnění odpovědi. Máte pravdu, pak už to vychází dobře, ale mně to nepřijde jako chyba, přeci jestli v té rovnici budu počítat s integraly, ktere budou mít konstanty před nimi, nebo s integraly ktere tu konstantu budou mít napsanou v nich, tak to musí vždycky vyjít stejně ne ? Přeci $2\int_{}^{}\sin x\cos x=\int_{}^{}2\sin x\cos x$ .

To jak jste napsal vy: $\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx=2\cdot \sin ^{2}x-\int_{}^{}2\cos x\sin x\ dx$
Nemělo by to být stejné jako: $2\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx=2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx$ ?

Tyjo já opravdu nevím proč to mám špatně, moc rád bych se to naučil správně :)

Al1 · 15. 02. 2016 07:42 — Editoval Al1 (15. 02. 2016 07:43)

↑ Hansikii:

Tvá úprava $2\int_{}^{}\sin x\cos x=\int_{}^{}2\sin x\cos x$ je samozřejmě v pořádku.

$2\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx=2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx$ je také v pořádku.

Musíš si ale uvědomit, inetgrál jaké funkce počítáš. Integrandem je funkce $2\sin x\cos x$ . Proto rovnice s integrálem bude

$\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-\int_{}^{}2\cos x\sin x\ dx$ .

Je také možné počítat nejprve integrál $\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx=\sin ^{2}x-\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx$ , upravit na

$2\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx=\sin ^{2}x \nl \int_{}^{}\sin x\cos x \ dx= \frac{1}{2}\sin ^{2}x+c_{1}$ . A dále

$\int_{}^{}2\sin x\cos x \ dx=2\cdot \frac{1}{2}\sin ^{2}x+2c_{1}=\sin ^{2}x+c$

Hansikii · 15. 02. 2016 23:10

↑ Al1:

Jestli jsem to tedy dobře pochopil, tak sice platí, že: $2\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx$ , avšak abych došel ke správnému výsledku musím počítat to rovnici jakoby se "stejným tvarem" integrandu, takže v tomhle případě s $\int_{}^{}2\sin x\cos x$ a ne s $2\int_{}^{}\sin x\cos x$ .
Pak by rovnice vypadala takhle: $\int_{}^{}2\sin x\cos x=2\sin ^{2}x-\int_{}^{}2\sin x\cos x$ $2\int_{}^{}2\sin x\cos x=2\sin ^{2}x$ $\int_{}^{}2\sin x\cos x=\sin ^{2}x+c$

Stejně bohužel mně to přijde divné, protože se přeci ty hodnoty rovnají, avšak nevyjde to. Mám na mysli tento tvar: $2\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx$ $4\int_{}^{}\sin x\cos x=2\sin ^{2}x$ $\int_{}^{}\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin ^{2}x+c$ . Nevyjde to, protože je tam jiny ten tvar toho integrandu jak jste psal víš ? Ale když přeci ten puvodní integral přepíšu do toho tvaru s konstantou před integralem, a na druhé straně rovnice udělam ten samy tvar upravy, tak to přeci musí byt stejne jako ty rovncie před upravou. Mně to pořád nedává smysl. Mám to tedy prostě počítat tak, že tam budu mít vždycky ten původní tvar toho integrandu ? a víc se o to nestarat ? :) nebo jak prosím

Al1 · 16. 02. 2016 07:02

↑ Hansikii:

Musíš počítat svůj zadaný integrál se zadaným integrandem. Takže z

$2\int_{}^{}\sin x\cos x \ dx= 2\cdot \sin ^{2}x-2\int_{}^{}\cos x\sin x\ dx$

$4\int_{}^{}\sin x\cos x=2\sin ^{2}x$

upravíš na

$2\int_{}^{}2\sin x\cos x=2\sin ^{2}x$ a dokončíš vydělením dvěma

$\int_{}^{}2\sin x\cos x=\sin ^{2}x+c$

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2016 20:12

Cyklicky integral

#2 14. 02. 2016 20:17 — Editoval Al1 (14. 02. 2016 20:27)

Re: Cyklicky integral

#3 14. 02. 2016 20:26

Re: Cyklicky integral

#4 14. 02. 2016 20:39

Re: Cyklicky integral

#5 14. 02. 2016 21:10

Re: Cyklicky integral

#6 15. 02. 2016 07:42 — Editoval Al1 (15. 02. 2016 07:43)

Re: Cyklicky integral

#7 15. 02. 2016 23:10

Re: Cyklicky integral

#8 16. 02. 2016 07:02

Re: Cyklicky integral

Zápatí