Matematické Fórum

Krokzakrokem

Dobrý den.

Prosím o pomoc s příkladem:

Ať $\mathbb{R}^{\le 3}[x]$ je lineární prostor polynomů nad $\mathbb{R}$ nejvýše třetího stupně. Označte jako X a Y uspořádané báze tohoto prostoru, kde $X = \{1, x, x^{2}, x^{3}\}$ , $Y = \{1,1 + x,1 + x + x^{2}, 1 + x + x^{2} + x^{3}\}$ . Ať der : $\mathbb{R}^{\le 3}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{\le 3}[x]$ je lineární zobrazení. které přiřazuje polynomu jeho první derivaci. Zapište matici A tohoto zobrazení vzhledem k uspořádané bázi X (tedy zobrazení der vzhledem k bázím X a X), a matici B tohoto zobrazení vzhledem k uspořádané bázi Y (tedy zobrazení der vzhledem k bázím Y a Y).

Chtěla jsem se zeptat, matici A tedy zapíšeme vlastně jako vektory (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0). (0, 0, 1, 0) a (0, 0, 0, 0) vzhledem ke kanonické bázi E4, tedy:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$ ?
a matici X vzhledem k bázi:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$
jako:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$
nebo to je vlastně báze přechodu od předchozí báze X k X' a je to tedy:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$ ?
Předem mockrát děkuji za rady.

byk7 · 16. 02. 2016 23:36

Co má být matice X a báze X'?

Předně do matice A nedáváš vektory, ale jejich souřadnice v daných bázích, tzn.
$\mathrm{der}(1)&=0 \\ \mathrm{der}(x)&=1 \\ \mathrm{der}$x^2$&=2x \\ \mathrm{der}$x^3$&=3x^2$
takže souřadnice v bázi X obrazů bázových vektorů (báze X) jsou
$\bigl(\mathrm{der}(1)\bigr)_{X}&=(0,0,0,0) \\ \bigl(\mathrm{der}(x)\bigr)_{X}&=(1,0,0,0) \\ $\mathrm{der}\(x^2$\)_{X}&=(0,2,0,0) \\ $\mathrm{der}\(x^3$\)_{X}&=(0,0,3,0)$
a odtud už vytvoříš matici A.

Podobně ve druhém případě: určíš obrazy bázových vektorů, spočítáš souřadnice v bázi Y a vytvoříš matici B.
Např.
$\mathrm{der}$1+x+x^2+x^3$=1+2x+3x^2$
takže
$$\mathrm{der}\(1+x+x^2+x^3$\)_{Y}=(-1,-1,3,0)$
protože
$(-1)\cdot1+(-1)\cdot(1+x)+3\cdot$1+x+x^2$+0\cdot$1+x+x^2+x^3$=1+2x+3x^2$ .

Krokzakrokem

↑ byk7:

Teď už to nejspíš chápu. Výsledné matice tedy jsou
matice A
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)$

a matice B:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 & 1 &-1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)$ ?

byk7 · 17. 02. 2016 14:01

Ano.

vanok · 17. 02. 2016 21:16

Ahoj,
A vies ako by sa napisala maticovom zapise, podla pouzitych baz, relacia y=Ax.
A aka je presne relacia matic Lin. zobrazenia A podla tych danych baz?

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2016 17:07 — Editoval Krokzakrokem (16. 02. 2016 17:19)

Zobrazení vzhleedem k uspořádané bázi

#2 16. 02. 2016 23:36

Re: Zobrazení vzhleedem k uspořádané bázi

#3 17. 02. 2016 10:41 — Editoval Krokzakrokem (17. 02. 2016 13:29)

Re: Zobrazení vzhleedem k uspořádané bázi

#4 17. 02. 2016 14:01

Re: Zobrazení vzhleedem k uspořádané bázi

#5 17. 02. 2016 21:16

Re: Zobrazení vzhleedem k uspořádané bázi

Zápatí