Matematické Fórum

snoby · 11. 02. 2016 13:40

Zdravim,

Potreboval by som poradit pri rieseni takehoto integralu.

$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3^x+1}}$

nejake napady prosim ?

Brano · 11. 02. 2016 14:16 — Editoval Brano (11. 02. 2016 14:16)

Substitucia $y=\sqrt{3^x+1}$ to prevedie na integral z racionalnej fcie.

snoby · 17. 02. 2016 01:49 — Editoval snoby (17. 02. 2016 02:22)

Vdaka takze dostal som sa sem a dalej neviem pokracovat :D nejake rady ? :D

substitucia:
$t=\sqrt{3^x+1}$

$dt=\frac{3^x*ln(3)}{2\sqrt{3^x+1}}dx$

$\frac{3^x*ln(3)}{2\sqrt{3^x+1}}dt=dx$

$\frac{1}{ln(3)}\int_{}^{}\frac{1}{t}*\frac{2\sqrt{t}}{t^2-1}dt$

No vlastne este by sa dala vytiahnut pred integral 2 takze:

$\frac{2}{ln(3)}\int_{}^{}\frac{1}{t}*\frac{\sqrt{t}}{t^2-1}dt$

hmm zeby substitucia?
$s=t^2-1$

nie nie tak som skusil
$s=\sqrt{t}$
$s^2=t$
$2sds=dt$

a teda

$\frac{8}{ln(3)}\int_{}^{}\frac{1}{s(s^4-1)}ds$

snoby · 17. 02. 2016 03:33 — Editoval snoby (17. 02. 2016 03:33)

vdaka :)
pozrem sa nato rano uz som preratany :D

snoby · 17. 02. 2016 06:01

Takze to je
$\frac{ln(3)}{2}\int \frac{t^2-1}{t^2}dt=\frac{ln(3)}{2}*(\int{}{}1dt -\int{}{}\frac{1}{t^2})$

$\frac{ln(3)}{2}*(\int{}{}1dt -\int{}{}\frac{1}{t^2})=\frac{ln(3)}{2}*(t+\frac{1}{t})$

$\frac{ln(3)}{2}*(t+\frac{1}{t})=\frac{ln(3)}{2}*(\sqrt{3^x+1} + \frac{1}{\sqrt{3^x+1}})+C$

je to takto spravne ?

Al1 · 17. 02. 2016 09:04 — Editoval Al1 (17. 02. 2016 09:04)

↑ snoby:

Zdravím,

substituce $t=\sqrt{3^x+1}$

$dt=\frac{3^x*ln(3)}{2\sqrt{3^x+1}}dx$ vede na integrál

$\frac{2}{ln(3)}\int_{}^{}\frac{1}{t}*\frac{t}{t^2-1}dt=\frac{2}{ln(3)}\int_{}^{}\frac{1}{t^2-1}dt$

Proveď rozklad na parciální zlomky.

Brano · 17. 02. 2016 11:27 — Editoval Brano (17. 02. 2016 11:28)

len mi je divne preco to takto komplikovane obchadzat
ak mame
$t=\sqrt{3^x+1}$ tak $x=\log_3(t^2-1)$ a teda $dx=\frac{2}{\ln 3}\frac{tdt}{t^2-1}$ a to sa dosadi lahsie, nie?

snoby · 17. 02. 2016 15:09 — Editoval snoby (17. 02. 2016 15:11)

↑ Al1:

Takze po parcialnych zlomkoch

$\frac{2}{ln(3)}(\int_{}^{}\frac{1}{2(t-1)}-\int_{}^{}\frac{1}{2(t+1)})=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(t-1)}-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(t+1)}$

$=\frac{2}{ln(3)}(\frac{1}{2}*ln(t-1) -\frac{1}{2}*ln(t+1))$

uz len dosadit substituciu ano ?:)

Al1 · 17. 02. 2016 17:15

↑ snoby:

Vzhledem k tomu, že jsi neřešil podmínky substituce, bych raději v logaritmech viděl absolutní hodnoty. Dále proveď resubstituci a případně uprav - dá se vytknout 1/2 a pokrátir, dá se pracovat z rozdílem logaritmů. Nezapomeň na integrační konstantu.

snoby · 17. 02. 2016 17:16

A jasne to uz doriesim dakujem moc :)

Al1 · 17. 02. 2016 17:19

↑ Brano:

Jaké jsou podmínky přechodu k inverzní funkci?

snoby · 17. 02. 2016 19:01

Este jedna doplnujuca otazka.

Pred rozkladom na parcialne zlomky som mohol pouzit vzorec:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-02/32052_vzorechmmm.jpg

a teda parcialne zlomky boli zbytocne?

Al1 · 17. 02. 2016 19:18

↑ snoby:

Ano, s použitím vzorce jsi mohl přímo dosadit (a dát pozor na konstanty vzniklé substitucí). Vidíš ale, že vzorec je stejně odvozen pomocí parciálních zlomků.

Brano · 18. 02. 2016 08:33

↑ Al1:
moc nerozumiem otazke, ale jedina podmienka tam je $t\ge 0$ ale s podmienkami sa zvykne trapit pri urcitom integrale

Al1 · 18. 02. 2016 08:40

↑ Brano:

My jsme na VŠ řešili podmínky při každé substituci neurčitého integrálu.

Brano · 18. 02. 2016 08:56

↑ Al1:
tak potom ich musis riesit hned ako povies
$t=\sqrt{3^x+1}$
lebo $t$ je nova premenna cez ktoru sa bude integrovat, tak musis vediet cez aku mnozinu sa da
a hned aj vidis, ze je to $t\ge 0$

Al1 · 18. 02. 2016 09:47

↑ Brano:

No ono dokonce platí, že $t>0$ . Mně šlo spíše o toto:

Brano napsal(a):
$t=\sqrt{3^x+1}\nl x=\log_3(t^2-1)$

protože tady bychom se již museli omezit na $t>1$

Brano · 18. 02. 2016 19:53

↑ Al1:
pardon - to bola nepozornost z mojej strany - samozrejme $t>1$ - to je vidiet aj z tej prvej rovnosti kedze tam mas 1+kladne a z toho odmocnina

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2016 13:40

Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#2 11. 02. 2016 14:16 — Editoval Brano (11. 02. 2016 14:16)

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#3 17. 02. 2016 01:49 — Editoval snoby (17. 02. 2016 02:22)

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#4 17. 02. 2016 03:12 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7. Důvod: chyba

#5 17. 02. 2016 03:33 — Editoval snoby (17. 02. 2016 03:33)

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#6 17. 02. 2016 06:01

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#7 17. 02. 2016 09:04 — Editoval Al1 (17. 02. 2016 09:04)

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#8 17. 02. 2016 11:27 — Editoval Brano (17. 02. 2016 11:28)

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#9 17. 02. 2016 15:09 — Editoval snoby (17. 02. 2016 15:11)

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#10 17. 02. 2016 17:15

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#11 17. 02. 2016 17:16

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#12 17. 02. 2016 17:19

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#13 17. 02. 2016 19:01

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#14 17. 02. 2016 19:18

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#15 18. 02. 2016 08:33

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#16 18. 02. 2016 08:40

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#17 18. 02. 2016 08:56

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

#18 18. 02. 2016 09:47

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

Brano napsal(a):

#19 18. 02. 2016 19:53

Re: Integral dx/(3^x+1)^(1/2)

Zápatí