Matematické Fórum

Jacob02 · 19. 04. 2009 21:48

Zdravim vsechny,

hledal jsem na foru, ale obdobny problem nebyl schopny najit.

Mam dokazat uzitim mat. indukce:

pro vsechna n z N:

Obdobny priklad asi bude:

Hral jsem si s obema priklady vic nez hodinu, ale protoze jsme ve skole nic takoveho nedelali, nebyl jsem schopny se ani od niceho odpichnout. Mat. indukci ale znam, tak snad to nebude moc slozite reseni.

Diky moc za pomoc ;-)

lukaszh · 19. 04. 2009 22:04

↑ Jacob02:
1. indukčný krok
$n=1$
$\sum_{i=1}^{1}i(3i+1)=4$
a zároveň $n(n+1)^2|_{n=1}=4$
Rovnosť teda platí pre n = 1.
2. indukčný krok
$n=k$
predpokladáme správnosť pre číslo k z prvého kroku a odvodzujeme pre $n=k+1$ .
$\sum_{i=1}^{k+1}i(3i+1)=(k+1)(3(k+1)+1)+\sum_{i=1}^{k}i(3i+1)=3k^2+7k+4+\sum_{i=1}^{k}i(3i+1)$
Z predpokladov však môžem sumu nahradiť výrazom $k(k+1)^2$ , potom
$3k^2+7k+4+k(k+1)^2=k^3+5k^2+8k+4=\;\cdots$
Ide mi o to, dokázať, že sa to rovná výrazu $(k+1)(k+2)^2$ , tak sa to snažím upraviť na taký tvar (toto si pomýšľaj len v hlave, aby sme sa neodvolávali na to, čo treba dokázať). Vydelím teda daný polynóm dvojčlenom k+1 a dostanem
$\cdots\;=(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2$
čo bolo treba dokázať.

Jacob02 · 19. 04. 2009 22:22

↑ lukaszh:
Ahoj,

to je neco fantastickeho, jak to do sebe dokonale zapada. Moc dekuji, zkusim si pohrat s tim druhym.

Jen by me zajimalo, jak se takove priklady vymysleji :-)

lukaszh · 19. 04. 2009 22:31

↑ Jacob02:
Ja by som povedal, že sú to nejaké pomocné výpočty k niečomu "väčšiemu". Napríklad niekto počítal počítal počítal, až potreboval vypočítať tento súčet a potom s ním pracoval ďalej. Vznikol z toho vhodný príklad na indukciu. Ešte taká zaujímavosť ohľadom indukcie. Raz som sa stretol s dôkazom (už však neviem ktorý konkrétne) ktorý som robil presne týmto spôsobom. Odvodil som pre n=1 atď až po n=k+1. Všetko mi klapalo, len keď som si dosadil n=2 tak nejako nevychádzalo :-) Pre ostatné n to však platilo. Tým len chcem poukázať, že indukciu nemám veľmi v láske i keď ide o korektný typ dokazovania.

Jacob02 · 19. 04. 2009 22:56

Diky opravdu moc. Vysel mi i ten druhy priklad. Mam radost, ze jsem objevil toto forum, je tady spousta skvelych veci, zjistuju, ze v te matice nejsem sam... ;)

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2009 21:48

Dukaz matematickou indukci

#2 19. 04. 2009 22:04

Re: Dukaz matematickou indukci

#3 19. 04. 2009 22:22

Re: Dukaz matematickou indukci

#4 19. 04. 2009 22:31

Re: Dukaz matematickou indukci

#5 19. 04. 2009 22:56

Re: Dukaz matematickou indukci

Zápatí