Matematické Fórum

iqbigbang · 21. 02. 2016 15:14

Dobrý den,
Když jsem tak přemýšlel, přišel jsem na to, že pokud máme kvadratickou rovnici $ax^2+bx+c$
a spočítáme její derivaci $2ax+b$ , tak pokud začneme řešit tuto rovnici vyjde nám: $x=\frac{-b}{2a}$ . Přidáním determinantu vznikne vzorec pro řešení kvadratických rovnic. Je zde nějaká souvislost?

Stýv · 21. 02. 2016 15:45

samozřejmě. parabola je symetrická a osa souměrnosti prochází jejím vrcholem

iqbigbang · 21. 02. 2016 16:31

A co má spolu společného osa souměrnosti a derivace?

Jj · 21. 02. 2016 16:42

↑ iqbigbang:

Zdravím.

Řekl bych, že na ose leží vrchol paraboly, v něm má parabola extrém, pro ten platí f'(x) = 0.

iqbigbang · 21. 02. 2016 16:59

Dobře. Díky.
A jaký vztah k tomu má determinant $\sqrt{b^2-4ac}$ ?

Jj · 21. 02. 2016 17:33

↑ iqbigbang:

To nevím (nejedná se o determinant, ale o diskriminant).

Rumburak

↑ iqbigbang:, ↑ Jj:

Ahoj. Pouze upřesním.

A) Výraz $ax^2+bx+c$ NENÍ kvadratickou ROVNICí, ale pouze polynomem (kvadratickým v případě $a \ne 0$ ).

B) Diskriminantem kvadratického polynomu $ax^2+bx+c , a \ne 0$ je $D = b^2-4ac$ (bez té odmocniny).
Jeho geometrický význam je tento:
1. když $D < 0$ , potom parabola o rovnici $y = ax^2+bx+c$ NEMÁ společný bod s osou x ;
2. když $D = 0$ , potom vrchol zmíněné paraboly leží na ose x (a jde o jediný společný bod paraboly s osou x - bod dotyku);
3. když $D > 0$ , potom zmíněná parabola má s osou x společné právě dva body (průsečíky), jejichž x-ové souřadnice jsou

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ .

Al1 · 23. 02. 2016 12:41

↑ iqbigbang:

Zdravím,

přidám ještě jeden pohled:
$y = ax^2+bx+c$ postupně upravíme:
$y=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c\nl y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-a\cdot \frac{b^{2}}{4a^{2}}+c\nl y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c\nl y= a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a}$

Z toho je vidět posun vrcholu V[0;0 ] paraboly $y=ax^{2}$ do vrcholu $\left[-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right]=\left[-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right]$ paraboly $y = ax^2+bx+c$

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2016 15:14

Řešení kvadratických rovnic

#2 21. 02. 2016 15:45

Re: Řešení kvadratických rovnic

#3 21. 02. 2016 16:31

Re: Řešení kvadratických rovnic

#4 21. 02. 2016 16:42

Re: Řešení kvadratických rovnic

#5 21. 02. 2016 16:59

Re: Řešení kvadratických rovnic

#6 21. 02. 2016 17:33

Re: Řešení kvadratických rovnic

#7 23. 02. 2016 11:01 — Editoval Rumburak (23. 02. 2016 13:46)

Re: Řešení kvadratických rovnic

#8 23. 02. 2016 12:41

Re: Řešení kvadratických rovnic

Zápatí