Matematické Fórum

vanok · 14. 02. 2016 20:46

Pozdravujem,
Casto vidime na tomto fore tazkosti s riesenim cviceni tykajucich sa klasickych limit.
Tak tu navrhujem riesit limity, ktore ste mohli stretnut pri roznych skuskach.
Pozor cakam tu na dokonale riesenia takych cviceni. Tak aby citatel po ich citani uz nemal ziadne otazky.
Pripominam, ze na vela forach, princip maratonu je, ze posledny riesitel navrhne nove cvicenie.
Tak cvicenie 1
$\lim_{x\to 0^+}(\sqrt x . ln(tan x))=$

vanok · 17. 02. 2016 15:23

Riesenie cvicenia 1.
Pre dostatocne male ostro kladne x mame
$\ln \tan x=\ln x+\ln (\frac {\sin x}{x})-\ln( \cos x)$ .
Pretoze ( dobre vieme, ze ) $\lim_{x\to 0} \frac {\sin x}{x}=1$ ako aj $\lim_{x\to 0} \cos x=1$
Mame $\lim_{x\to 0} \ln (\frac {\sin x}{x})=0$ a tiez $\lim_{x\to 0} \ln (\cos x)=0$
Co da pochopitelne $\lim_{x\to 0} \sqrt x \ln (\frac {\sin x}{x})=0$ a tiez $\lim_{x\to 0}\sqrt x \ln (\cos x)=0$ .
Na koniec pre $x>0$ je $\sqrt x\ln x=2\sqrt x \ln \sqrt x$ , a ( dobre vieme, ze) $\lim_{y \to 0^+}y \ln y=0$ a tu $\sqrt x \to 0^+$ ked $x \to 0$ , co nam da $\sqrt x \ln \sqrt x \to 0$ .
Predosle vysledky nam daju $\lim_{x\to 0^+}(\sqrt x . \ln(\tan x))=0$

vanok · 18. 02. 2016 13:24 — Editoval vanok (18. 02. 2016 13:26)

Akoze som riesil predosle cvicenie, tak pridavam
Cvicenie 2
$\lim_{x\to+\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2+x}}}{e^x+1}=$

vytautas

↑ vanok:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

chyba

Jj · 18. 02. 2016 15:40

↑ vytautas:

Zdravím.

Nezdá se mi, že by mělo platit

$e^{\sqrt{x^2+x}}=e^x e^{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$ ,

jak je použito v prvním řádku.

vanok · 18. 02. 2016 15:50 — Editoval vanok (18. 02. 2016 15:53)

↑ vytautas:
Ahoj, skus opravit tvoje riesene.
V prvej rovnosti , ( prvy riadok, citalel ) mas chybu .
Edit. Vidim ze kolega, Jj ( pozdravujem) napisal tu chybu explicitne.

vytautas · 20. 02. 2016 00:23

↑ vanok:

Už snáď správne riešenie.
$\lim_{x\to +\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2 +x}}}{e^x+1 }=\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{e^x} \frac {e^{\sqrt {x^2+ x}-x}}{1 + \frac{1}{e^x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2 +x}-x}}{1 + \frac{1}{e^x}}$

Podľa rastovej škály $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x}=0$

Takže podľa aritmetiky limít $\lim_{x\to +\infty}\frac {e^{\sqrt {x^2 +x}-x}}{1 + \frac{1}{e^x}}=\lim_{x\to + \infty} e^{\sqrt {x^2+ x}-x} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 +\frac{1}{e^x}} =\lim_{x\to + \infty} e^{\sqrt {x^2 + x}-x} \frac{1}{1 +0}=\lim_{x\to +\infty} e^{\sqrt {x^2 +x}-x}$

Ďalej $\lim_{x\to +\infty} e^{\sqrt {x^2 +x}-x}=\lim_{x\to +\infty} e^{\sqrt {x^2 +x}-\sqrt{x^2} \frac{\sqrt{x^2 +x} \sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 +x}+ \sqrt{x^2}}}=\lim_{ x \to +\infty} e^{\frac{x^2+ x-x^2}{\sqrt{x^2 +x}+ \sqrt{x^2}}}=\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x}{x} \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{x}}+ 1}}$

Keďže $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{1}{x}} +1}=\frac{1}{\sqrt{1+ 0} +1}=\frac{1}{2}$
Podľa vety o limite zloženej funkcie s podmienkou S ( $e^y$ je spojitá na svojom def. obore, čiže aj v $\frac{1}{2}$ )
Potom $\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{x}}+ 1}}=e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{1}{x}} +1}}=e^{\frac{1}{2}}$

Cvicenie 3

$\lim_{x \to 0} (\cos(x))^{-\frac{1}{x^2}}=$

Brzls · 20. 02. 2016 12:12 — Editoval Brzls (20. 02. 2016 21:46)

↑ vytautas:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pokud správně, tak
Cvičení 4.
$\lim_{x\to0}\frac{\text{tg}x-x}{x\cdot \text{tg}x}$

Bati · 20. 02. 2016 15:12 — Editoval Bati (22. 02. 2016 08:46)

Řešení cvičení 4:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cvičení 5:
$\lim_{x\to0}$\ln{\frac{{\rm e}}{1+x}}$^{$1+\frac1x$^2}$\ln{\frac{{\rm e}}{1-x}}$^{$1-\frac1x$^2}=\;?$

Nápověda:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brzls · 22. 02. 2016 02:15 — Editoval Brzls (22. 02. 2016 02:16)

↑ Freedy:
Neni uplně odpolední hodina a třeba jen něco přehlížím, ale neni hned v prvním řádku problém?
$(a^{x})^{2}=a^{x}\cdot a^{x}=a^{2x}\ne a^{x^{2}}$

Freedy · 22. 02. 2016 10:17 — Editoval Freedy (22. 02. 2016 11:38)

↑ Bati:
Mate pravdu, pardon, svuj postup opravim, vecer mi to asi nejak nemyslelo ;-)

Bati napsal(a):
protože $\lim_{x\to0}\frac{\ln\ln{\frac{e}{1+x}}}{x^2}$ neexistuje.

pro korekci, tuto limitu jsem tam nevyšetřoval. Ve jmenovateli bylo pouze x, nikoliv x^2.
Nicméně byla chyba již v úvodu ;) a celkem trapná, nicméně nápad již nějaký mám, ale momentálně nemám čas, večer to zkusím opravit.

vanok · 23. 02. 2016 18:13

Pozdravujem,
Vlakno sa rozbehlo.
Navrhujem este, aby ostalo dynamicke, bolo by dobre, ze ak nejake cvicenie je bez dobreho riesenia, pocas 5, 6 dni, aby jeho autor dal jeho vlastne riesenie.( a ho dat aj vtedy, ak myslel na ine riesenie ako to, ktore je urobene na fore).

Bati · 26. 02. 2016 11:30 — Editoval Bati (26. 02. 2016 11:31)

Protože cvičení 5 dosud nikdo nevyřešil, napíšu sem svoje řešení a počkám jestli někdo zareaguje. Nechtěl jsem to tu takhle zazdít, jen jsem chtěl vymyslet nějakou limitu, na kterou neplatí klasický finty :-)

Řešení cvičení 5:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 26. 02. 2016 12:34

Ahoj ↑ Freedy:,
Iste vies, ze na chybach sa da vela naucit. To je skoda, ze si skryl tvoj pokus riesenia. Kolegom mohlo byt uzitocne analyzovat tvoju chybu a potom nerobit podobne chyby pri skuskach.
Dobre pokracovanie a vela pokrokov.

Pavel · 26. 02. 2016 21:45

↑ Bati:

Řešení cvičení 5 s použitím klasických fint a bez použití derivací: :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Bati · 26. 02. 2016 22:05

↑ Pavel:
Pěkný, trochu jsem doufal, že se toho někdo chytí a dá sem elementárnější řešení :-)

vanok · 27. 02. 2016 18:24

Pozdravujem, Bati, Pavel jeden z vas by mal dat cvicenie 6 ( pripadne aj cvicenie 7) aby pokracovala dynamika vlakna.

stuart clark · 01. 03. 2016 07:37

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left[\frac{\ln(x^2+3x+4)}{\ln(x^2+2x+3)}\right]^{x\ln x}$

Freedy · 01. 03. 2016 18:13 — Editoval Freedy (01. 03. 2016 18:22)

Řešení cvičení 6

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cvičení 7
$\lim_{x\to\infty }\bigg((x+a)^{1+\frac{1}{x}}-(x+1)^{1+\frac{1}{x+a}}\bigg)$ , $a\in \mathbb{R}$

vanok · 08. 03. 2016 10:45 — Editoval vanok (08. 03. 2016 11:40)

Ahoj ↑ Freedy:,
Akoze nikoho nezaujalo tvoje cvicenie, bolo by dobre aby si dal tvoje riesenie a tiez aj nove cvicenie take ake mohlo byt dane na nejakej skuske.
Tiez je skoda ze dvaja riesitelia po rieseni nedali ziadne cvicenie.
Dufam, ze sa toto vlakno ozivi a dynamizuje.

Marian · 09. 03. 2016 12:07 — Editoval Marian (09. 03. 2016 12:08)

↑ Freedy:

Nerad bych kazil radost z výpočtu úlohy, ale tato limita se již probírala na fóru a dokonce i v sekci zajímavých úloh z matematické analýzy, viz tento odkaz.

Je ovšem docela možné, že někdo přijde s jiným přístupem a rovněž vyřeší danou limitu.

vanok · 09. 03. 2016 12:31

↑ Marian:,
Pozdravujem,
Dakujem, ze ta zaujalo toto vlakno, mozes tu dat jednu z tvojej zasoby limit.

vanok · 09. 03. 2016 13:57

Pozdravujem,
Pridavam jedno cvicenie.
No len preto aby tu ostala dynamika a aby citatelia studenty mohli sa poucit.
Ti co zatial nedali cvicenia, po rieseni predoslych cviceni, nech nevahaju.
O cviceni, co nasleduje, mozno mi poviete, ze je to trochu sadizmus, no ale na koniec je skor jednoduche.
cvicenie 8
Vysetrite limitu, ak existuje $\sqrt{x^4+2x^3}+x^2-2\sqrt{x^4+x^3}$ pre $x\to \infty$
( najdene na webe)

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2016 20:46

Limitny maraton

#2 17. 02. 2016 15:23

Re: Limitny maraton

#3 18. 02. 2016 13:24 — Editoval vanok (18. 02. 2016 13:26)

Re: Limitny maraton

#4 18. 02. 2016 15:26 — Editoval vytautas (18. 02. 2016 17:35)

Re: Limitny maraton

#5 18. 02. 2016 15:40

Re: Limitny maraton

#6 18. 02. 2016 15:50 — Editoval vanok (18. 02. 2016 15:53)

Re: Limitny maraton

#7 20. 02. 2016 00:23

Re: Limitny maraton

#8 20. 02. 2016 12:12 — Editoval Brzls (20. 02. 2016 21:46)

Re: Limitny maraton

#9 20. 02. 2016 15:12 — Editoval Bati (22. 02. 2016 08:46)

Re: Limitny maraton

#10 21. 02. 2016 23:33 — Editoval Freedy (21. 02. 2016 23:52) Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy. Důvod: -.- fail

#11 22. 02. 2016 02:15 — Editoval Brzls (22. 02. 2016 02:16)

Re: Limitny maraton

#12 22. 02. 2016 09:05 Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati. Důvod: Už zbytečné

#13 22. 02. 2016 10:17 — Editoval Freedy (22. 02. 2016 11:38)

Re: Limitny maraton

Bati napsal(a):

#14 23. 02. 2016 18:13

Re: Limitny maraton

#15 26. 02. 2016 11:30 — Editoval Bati (26. 02. 2016 11:31)

Re: Limitny maraton

#16 26. 02. 2016 12:34

Re: Limitny maraton

#17 26. 02. 2016 21:45

Re: Limitny maraton

#18 26. 02. 2016 22:05

Re: Limitny maraton

#19 27. 02. 2016 18:24

Re: Limitny maraton

#20 01. 03. 2016 07:37

Re: Limitny maraton

#21 01. 03. 2016 18:13 — Editoval Freedy (01. 03. 2016 18:22)

Re: Limitny maraton

#22 08. 03. 2016 10:45 — Editoval vanok (08. 03. 2016 11:40)

Re: Limitny maraton

#23 09. 03. 2016 12:07 — Editoval Marian (09. 03. 2016 12:08)

Re: Limitny maraton

#24 09. 03. 2016 12:31

Re: Limitny maraton

#25 09. 03. 2016 13:57

Re: Limitny maraton

Zápatí