Matematické Fórum

Pomocí polárních souřadnic  x = r*cos t,  y = r*sin t    zjistíme, že  f(x,y) =  exp(- r^2) = g(r) , což nezávisí na t , takže
graf fce z = f(x,y) dostaneme (řečeno snad poněkud populárně) rotací grafu fce z = g(x) okolo  osy z.

Fce g je konkávní na intervalu < -q , q> , kde q = (1/2)*sqrt(2) ,  takže f  je konkávní na kruhu  M = K(0,q), jak plyne ze symetrie
vůči rotaci okolo středu tohoto kruhu.

O situaci mimo kruh M se nadá pojednat jednoznačně, protože pojmy konkávnost a konvexnost funkcí mají smysl jen na množinách,
které jsou konvexní, což  RxR - M není. Lze  řešit úlohu "charakterizujte všechny konvexní podmnožiny v  RxR - M  , na nichž fce f je
konvexní (resp. konkávní)", což je úloha obecně již značně složitá.

- a t sa nam pohybuje na intervale <0, 2pí)

Té Tvé substituci nějak nerozumím. K čemu je dobrá?

Ještě mírně doplním předchozí odpověď . Vezmeme-li bod C = [c, 0] , c > q ,  a  zkoumáme-li v okolí tohoto bodu konvexnost nebo konkávnost
funkce f, pak vůči přímce  y = 0 vychází ryzí konvexnost , zatímco vůči přímce x = c  ryzí konkávnost. Z přihlédnutím k symetrii vůči rotaci okolo
počátku to znamená, že mimo kruh M neexistuje bod, v jehož okolí by fce byla konvexní nebo konkávní.

Vyjasněme si význam determinantu D z druhých derivací (vyšel mi stejně jako Tobě) při hledání extrémů fce více proměnných.


JESTLIŽE BOD p JE STACIONÁRNÍM (neboli KRITICKÝM) BODEM fce f , tj. obě parciální derivace 1. řádu v tomto bodě jsou rovny 0,
pak v tomto bodě může být extrém, ale nemusí.  To, která z těchto možností nastane, se může poznat z hodnoty determinantu D.

Označme S plochu určenou rovnicí z = f(x,y) = f(p), kde p = [x,y]
Determinant D z druhých derivací (vyšel mi stejně jako Tobě) má pro hledání extrémů uyvýznam:

1.  D(p)  > 0   -  pak JE v vbodě p lok. extrém  ([p,f(p)] je zároveň eliptickým bodem plochy S)
(f_xx (p)  > 0 ostré minimum ,   f_xx (p)  < 0  ostré maximum   - místo f_xx se dá vzít f_yy , tj. druhá derivace podle y),

2.   D(p)  < 0   - pak v bodě p NENÍ extrém  ([p,f(p)]  je zároveň  hyperbolickým bodem plochy S),

3.   D(p)  = 0   - pak není rozhodnuto a je potřeba použít nějakou jemnější metodu ([p,f(p)]  je  zároveň parabolickým bodem plochy S).

V naší úloze je jediným stacionárním bodem p = [0,0]    (první parc. derivace rovny 0) , v tomto bodě je  D(p) = 4 > 0,  takže zde nastává
lokální extrém, a to ostré maximum, neboť  např.  f_xx (p) = -2  < 0. Jiné extrémy fce nemá.


Na oné kružnici o o středu [0,0] a poloměru q  má plocha S pouze parabolické body, neboť zde je D(p) = 0 .

A podařilo se ? 
Možná, že jsem se doposud vyjadřoval poněkud roztříštěně. Svůj pohled bych shrnul takto:

I když jsem pro funkce dvou a více proměnných nikde nenašel definici konvexní (konkávní) funkce, není těžké vhodnou definici
zformulovat  například fakto:

Reálná fce f definovaná na konvexní množině K je konvexní, právě když množina {[p,z] : p element K , z >= f(p) } je konvexní.
Reálná fce g definovaná na konvexní množině K je konkávní, právě když množina {[p,z] : p element K , z <= g(p) } je konvexní.

S pojmem inflexního bodu u funkcí dvou a více proměnných jsem se také nikdy nesetkal, představuji si ho tak, že v libovolném jeho
okolí se plocha z = f(x,y) nachází po obou stranách tečné (nad)roviny.
U fcí dvou proměnných tento jev nastává vždy, když bod [p,f(p)] je hyperbolickým bodem plochy z = f(x,y), tj. platí-li D(p) < 0  .
Když  jde o eliptcký bod , tj.  platí-li D(p) > 0 , pak v dostatečně malém jeho okolí se plocha nachází jen po jedné straně tečné roviny.
Když  jde o parabolický bod , tj.  platí-li D(p) = 0 , pak mohou nastat různé situace - je to jakýsi mezistupeň mezi předchozími stavy.

Vnitřní body kruhu M(0,q)  odpovídají eliptickým bodům plochy z = f(x,y) a zde je fce f konkávní,
vnější body hyperbolickým bodům a zde fce není konkávní ani konvexní na žádné konvexní množině,
hraniční body kruhu odpovídají parabolickým bodům a dochází v nich k inflexi - plocha se nachází po obou stranách tečné roviny,
a to i v rámci libovolně malého okolí bodu.

OK ?