Matematické Fórum

Krokzakrokem

Dobrý den. Nejsem si vůbec jistá, zda jsem použila regulérní důkaz s dekompozicí. Můžete mi to prosím zkontrolovat? Dále jsem se chtěla zeptat, je prosím správný základní krok pro jedničku, když ji chci použít v indukčním kroku, nebo ji mám dělat pro nulu? Uvítám jakékoliv rady a připomínky. Předem mockrát děkuji.

Nechť $P: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ je aditivní funkce, tj. splňuje dále uvedený vztah, pro každé $m,n \in \mathbb{N}$ platí:

$P(m + n) = P(m) + P(n)$ .

Matematickou indukcí dokažte, že pro funkci P platí vztah:

$P(m) = m \cdot P(1)$

pro každé $m \in \mathbb{N}$ .

(a) Jasně definujte výrok, který dokazujete.
$P(m) = m \cdot P(1)$ pro každé $m \in \mathbb{N}$ .

(b) Podle jaké proměnné indukci provádíte?
podle m

(c) Jasně vyznačte a dokažte základní krok matematické indukce.
$P(1) = 1 \cdot P(1)$ pro zvolené m=1. To evidentně platí.

(d) Jasně zformulujte výrok zvaný indukční krok.
$P(m+1) = (m+1) \cdot P(1)$ pro každé $m \in \mathbb{N}$ .

(e) Jasně zformulujte indukční předpoklad a dokažte indukční krok. V důkazu vyznačte dekompozici problému a použití indukčního předpokladu.
Předpokládám, že $P(m) = m \cdot P(1)$ pro každé $m \in \mathbb{N}$ platí pro m a snažím se dokázat, že platí $P(m+1) = (m+1) \cdot P(1)$ pro každé $m \in \mathbb{N}$ .

Vím, že platí:
$P(m + n) = P(m) + P(n)$ .
Pokud n=1, pak:
$P(m + 1) = P(m) + P(1)$ .
Protože podle indukčního předpokladu $P(m) = m \cdot P(1)$ , rovnici upravím:
$(m+1) = m \cdot P(1) + P(1)$

Snažím se dokázat, že:
$P(m+1) = (m+1) \cdot P(1)$ // roznásobím
$P(m+1) = m \cdot P(1) + 1 \cdot P(1)$ // jednička jako neutrální prvek operace násobení
$P(m+1) = m \cdot P(1) + P(1)$ A to jsme chtěli dokázat.

f) Jaký princip matematické indukce pou69vate? (Tento pnncip nemusite definovat.)
podle mě stačí slabý princip

jarrro · 26. 02. 2016 07:30

skôr by som napísal
$P{$m+1$}=P{$m$}+P{$1$}\stackrel{IP}=mP{$1$}+P{$1$}=$m+1$P{$1$}$

Rumburak

↑ Krokzakrokem:

Indukčním předpokladem je výrok

$P(m) = m \cdot P(1)$ platný pro některé $m \in \mathbb{N}$ .

V indukčním kroku dokazujeme platnost výroku $P(m+1) = (m+1) \cdot P(1)$ pro $m$ z indukčního předpokladu.

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2016 20:39 — Editoval Krokzakrokem (25. 02. 2016 20:40)

Matematická indukce

#2 26. 02. 2016 07:30

Re: Matematická indukce

#3 26. 02. 2016 14:28 — Editoval Rumburak (26. 02. 2016 14:38)

Re: Matematická indukce

Zápatí