Matematické Fórum

kryštof · 28. 02. 2016 14:46

Ahoj.
Je prostor $V$ , v něm podprostory $V_1$ až $V_q$ . Zvolíme-li libovolnou q-tici nenulových vektorů $v_1$ až $v_q$ , $v_i \in V_i$ , pak je lineárně nezávislá. Znamená to, že žádný z podprostorů $V_i$ neleží ve spojení $\Sigma _{j=1,j\ne i}^{q}V_j$ všech ostatních? Pokud ano, poprosil bych o pomoc s důkazem.

Rumburak

↑ kryštof:

Ahoj.

Nemám to promyšleno detailně, ale připadá mi, že příslušná věta by platit mohla.
Je téměř zřejmé, že věta platí, když každý z prostorů $V_i$ má dimensi 1, tedy když číslo

(1) $k := \sum_{i = 1}^q \dim V_i$ .

má hodnotu $q$ . Nabízí se důkaz indukcí dle čísla (1) počínaje hodnotou $k_0=q$ .

Je ovšem potřeba přidat předpoklad, že každý z podprostorů $V_i$ má nenulovou dimensi.

kryštof

↑ Rumburak:
Včera večer mě napadlo tohle:
Předpokládejme (bez újmy na obecnosti), že $V_1\subset \Sigma _{j=2}^{q}V_j$ . Potom existuje nenulový $v_1\in V_1$ (máš pravdu, že je třeba předpokládat, aby $\dim V_i \ne 0$ ), který lze vyjádřit jako $v_1=v_2+...+v_q$ , $v_2\in V_2,...,v_q\in V_q$ . O vektorech na pravé straně nevíme, jestli jsou všechny nenulové, ale určitě je nenulový alespoň jeden, protože $v_1 \ne o$ . Máme tedy n-tici nenulových vektorů $\{v_1,w_2,...,w_n\} \subset \{v_1,...,v_q\}$ , 2<=n<=q. Podle předpokladu je tahle n-tice lineárně nezávislá (lze ji doplnit tak, aby vektorů bylo q), ale přitom $v_1-w_2-...-w_n=o$ je jejich netriviální nulová lineární kombinace, což je spor.
Co si o tom myslíš?

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2016 14:46

věta se spojením podprostorů+ důkaz

#2 29. 02. 2016 10:37 — Editoval Rumburak (29. 02. 2016 11:10)

Re: věta se spojením podprostorů+ důkaz

#3 29. 02. 2016 12:34 — Editoval kryštof (29. 02. 2016 12:46)

Re: věta se spojením podprostorů+ důkaz

Zápatí