Matematické Fórum

Flaky · 27. 02. 2016 22:52 — Editoval Flaky (28. 02. 2016 15:39)

$kopírovat do textarea$ Dobrý večer,

chtěl bych se poradit s následujícím příkladem: Dokažte, že v libovolném komplexním vektorovém prostoru V se skalárním součinem <,> platí tato polarizační identita:
$Im(<u,v>)=\frac{1}{2}(||u-iv||^{2} - ||u||^{2}-||v||^{2}) = \frac{1}{4}(||u-iv||^{2}-||u+iv||^{2})$

Postupoval jsem následovně..
$||u-iv||^{2} - ||u||^{2}-||v||^{2}=$
$= <u-iv,u-iv> - <u,u> - <v,v> = <u-iv,u>+<u-iv-iv,> - <u,u> - <v,v>=$

$<u,u> + <-iv,u> + <u,-iv> + <-iv,-iv> - <u,u> - <v,v>=$
$i<v,u> - i<u,v> = -(i<u,v>-i<v,u>) =$
$-(i2Im(<u,v>))$

Obdobným způsobem jsem v důkazu druhé rovnosti došel k $-(i4Im(<u,v>))$

Zajímalo by mě tedy, zda jsem postupoval správně a taktéž jak z posledního řádku přejít ke kýženému výrazu na levé straně.

Děkuji