Matematické Fórum

janusz · 23. 02. 2016 08:23

Dobrý den,

mám pravděpodobně pro vás triviální úlohu.

Částice se pohybuje po rovinné křivce konstantní rychlostí $v_{0}$ . a současně se vzdaluje od pevného bodu O konstantní rychlostí $v_{r}$ .

Popište trajektorii pohybu částice..

Myslel jsem, že rychlost se dá rozdělitv polárních souřadnicích na $v_{r}$ a $v_{\varphi }$ , ale nevím přesně, jak pokračovat dál..

výsledek by měl být $\sqrt[]{\frac{v_{0}^{2}}{v_{r}^{2}}-1}$

Formol · 23. 02. 2016 14:49

↑ janusz:
Hezký den,
začnu od konce: Výsledek je určitě špatně. Když má být výsledkem popis dráhy hmotného bodu, těžko bude výsledkem číslo. Příkady jsou příklady od toho, aby nad nimi student přemýšlel. Tedy i správně plácnuté číslo, jestliže je jasné, že student neví, co znamená, představuje špatnou odpověď.

Nyní k vlastnímu příkladu. Doporučuji začít obrázkem:

Vlastně jsem si obecnou rychlost $\vec{v_0}$ rozdělil na dvě na sebe kolmé složky $\vec{v_r}$ a $\vec{v_n}$ . Když si spojím počátek s bodem O, je rychlost $\vec{v_r}$ rychlost vzdalování a $\vec{v_n}$ rychlost otáčení. Platí totiž, že obecný pohyb si můžu právě na tyto dvě složky rozložit.

Ze zadání, že $v_r$ i $v_0$ jsou co do velikosti konstantní, z toho lze vidět, že co do velikosti bude konstantní i rychlost $v_n$ kolmá k $v_r$ a také úhel $alpha$ , který spolu svírají vektory $\vec{v_0}$ a $\vec{v_r}$ .

Protože je i rychlost otáčení $v_n$ konstantní, je vlastně hledaný pohyb složením rovnoměrného přímočarého a otáčivého pohybu (zjevně nerovnoměrného).

Pro pohyb rovnoměrně otáčivý je klíčovým parametrem úhlová rychlost $\omega$ , pro kterou platí (v absolutních hodnotách):
$\omega = \frac{r(t)}{v_n(t)}$

Protože $r(t)$ je ze zadání lineární funkce, u které si pro usnadnění života zvolím $r(0)=0$ , můžu po pár úpravách psát (rozhodně doporučuji si ty kroky rozepsat):
$\omega = t \, \frac{v_n}{v_r}$

Tedy vlastně:
$\omega = t \, \tg\alpha$

Vlastně tady je asi jedniná finta. Ze zadání totiž jasně vidím jen to, že platí:
$\cos\aplha = \frac{v_r}{v_0}$

Ale já potřebuji tangens. Tedy:
$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

No ale protože jsem v intervalu $<0,\pi/2>$ , můžu psát:
$\sin \alpha = \sqrt{\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-\cos^2 \alpha}$

Tedy po dosazení a malé úpravě dostanu:
$\omega = t \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 \,}$

a po dosazení kosinu:
$\omega = t \sqrt{\frac{v_0^2}{v_r^2} - 1 \,}$

Tedy vidíš, že jde o rovnoměrně zrychlený otáčivý pohyb s konstatntním úhlovým zrychlením:
$\varepsilon = \sqrt{\frac{v_0^2}{v_r^2} - 1 \,}$

Pro popis dráhy by asi bylo lépe mít funkci úhlu $\varphi$ v polárních souřadnicích jako funkci času. Zároveň zopakuji i výraz pro vzdálenost od bodu O, aby byl výsledek v polárních souřadnicích na jednom místě. Čistě pro úplnost ještě doplním obecně nenulové počáteční podmínky:

$\varphi(t) = \frac{1}{2} t^2 \sqrt{\frac{v_0^2}{v_r^2} - 1 \,} + \omega(0) + \varphi(0)$
$r(t) = v_0t + r(0)$

(Vřele doporučuji si postup projet. Jednak z důvodů ryze didaktických a jednak jsem klidně mohl spáchat nějakou chybu.)