Matematické Fórum

Bopinko · 29. 02. 2016 17:50

Zdravím, mám problém s jedným cvičením, ale ak pochopím jednep ríklad, tak by som ho mal ceý dorátať. Môžete mi niekto povedať, ako by som vyrátal Taylrov polynom stupňa n v bode a fcie $x^{2}e^{-2x}$ v bode a = - 1 ?

Freedy · 29. 02. 2016 20:19 — Editoval Freedy (29. 02. 2016 20:25)

A n je, nebo není zadané?
Má to tedy být obecně pro libovolné n? A jaký tvar asi tak požaduješ? :)

Hint:
Nejprve rozviň funkci $\mathrm{e}^{-2x}$ do taylorova polynomu řádu n v bodě -1 (to by asi neměl být problém :) )
Není těžké určit, že:
Je-li $f(x)=\mathrm{e}^{-2x}$
Pak
$f'(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}$
$f''(x)=4\mathrm{e}^{-2x}$
$f'''(x)=-8\mathrm{e}^{-2x}$
:) lze tam odpozorovat nějaký vztah?

Rumburak · 01. 03. 2016 09:55

↑ Bopinko:, ↑ Freedy:

Ahoj.

Je možno vyjít i ze známého T. rozvoje $\mathrm{e}^y = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} y^n$ . Odtud dosazením $y = -2x$ dostaneme

$\mathrm{e}^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} (-2x)^n$

a vynásobením této rovnosti výrazem $x^2$ získáme

(1) $x^2\mathrm{e}^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} x^2(-2x)^n$

(Algebraickou úpravu za summou do obvyklého tvaru mocninné řady jistě už zvládneš. :-). )
Že takto vzniklá mocninná řada je Taylorovou (speciálně Maclaurinovou) řadou funkce $g(x) := x^2\mathrm{e}^{-2x}$ ,
plyne z příslušných vět o těchto řadách.

Freedy · 01. 03. 2016 17:09 — Editoval Freedy (01. 03. 2016 17:12)

↑ Rumburak:
nemyslím si, že toto je rozvoj řádu n. Ani to není kolem bodu 1. Takže nevím, zda-li si přesně odpověděl na otázku.
Rozvoj řádu n je:
$\sum_{k=0}^{n}\frac{(-2x)^k}{n!}+o(x^{2n+1})$ pro $x \rightarrow0$ (nicméně toto je pro okolí bodu 0, nikoliv 1)

Pokud chce kolega rozvoj řádu n v bodě 1, spíš by to vypadalo nějak takto:
$T^{f}_{n,1}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^k(1)}{k!}(x-1)^k +o((x-1)^{2n+1})$
Je zřejmé, že je-li $f(x)=\mathrm{e}^{-2x}$ $\forall x\in \mathbb{R}$ pak
$f^k(x)=-2^k\mathrm{e}^{-2x}$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Tedy
$T^{f}_{n,1}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{2^k}{\mathrm{e}^{2}k!}(x-1)^k+o((x-1)^{2n+1})=\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{2^k}{k!}(x-1)^k+o((x-1)^{2n+1})$

Platí tedy:
$\mathrm{e}^{-2x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{2^k}{k!}(x-1)^k+o((x-1)^{2n+1})$

Celkem tedy
$x^2\mathrm{e}^{-2x}=\frac{x^2}{\mathrm{e}^{2}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{2^k}{k!}(x-1)^k+o((x-1)^{2n+1})$

Protože rozvoj x^2 kolem 1 je x^2, tak
$x^2\mathrm{e}^{-2x}=\frac{x^2}{\mathrm{e}^{2}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{2^k}{k!}(x-1)^k+o((x-1)^{2n+3})$

Rumburak

↑ Freedy:

Kolega to chce v bodě +1 , což jsem pro nevýraznost této podmínky v zápise zadání přehlédl a omlouvám se.
Přejít u mocninné řady k jinému jejímu středu je jen otázka substituce, jak nakonec plyne i z Tvého výpočtu.

T. polynom stupně $n$ dostaneme tak, že přebytečné členy "celé" T. řady škrtneme.

EDIT. Jasně, v bodě -1.

vanok · 02. 03. 2016 16:59 — Editoval vanok (02. 03. 2016 17:06)

Pozdravujem ↑ Freedy:↑ Rumburak:
Mne sa da, ze kolega hlada jeho Taylorov polynom stupna n z Tayloroveho rozvoja stupna n okoli bodu $a=-1$ funkcie $f$ takej, ze $f(x)=x^2e^{-2x}$ Cf. ↑ Bopinko:.
Ten polynom sa pise takto $e^2-4e ^2(x+1)+7e^2(x+1)^2-...+\frac {f^n(-1)}{n!}(x+1)^n$
Tento rozvoj je zvykom upravit do formy polynomu tak ze sa zacina monomom stupna n.( co ale nie je povinne)
Metod, ako prist k tomu vysledku je viac... ( prakticky, ak derivacia v bode a je casovo narocna, tak je lepsie pouzit operacie s uz znamymi pouzitelnymi polynomy ...)

Freedy · 02. 03. 2016 19:54

↑ vanok:
ajo, ono je to v bodě -1. Nicméně postup bude naprosto stejnej jako v bodě 1, dokonce e nebude ve jmenovateli ale v čitateli, takže to bude ''hezčí'' :-)

Matematické Fórum

#1 29. 02. 2016 17:50

Taylorov polynom

#2 29. 02. 2016 20:19 — Editoval Freedy (29. 02. 2016 20:25)

Re: Taylorov polynom

#3 01. 03. 2016 09:55

Re: Taylorov polynom

#4 01. 03. 2016 17:09 — Editoval Freedy (01. 03. 2016 17:12)

Re: Taylorov polynom

#5 02. 03. 2016 12:40 — Editoval Rumburak (04. 03. 2016 09:50)

Re: Taylorov polynom

#6 02. 03. 2016 16:59 — Editoval vanok (02. 03. 2016 17:06)

Re: Taylorov polynom

#7 02. 03. 2016 19:54

Re: Taylorov polynom

Zápatí