Matematické Fórum

Aerofil · 05. 03. 2016 23:16

Zdravím vás, matematici,
Při řešení délky parametrické křivky (x=fx(p); y=fy(p) kde fx a fy jsou polynomy 5. stupně) jsem se zasekl při integrování polynomu:
$\int_{0}^{1}\sqrt{A+B\cdot p+C\cdot p^{2}+D\cdot p^{3}+E\cdot p^{4}+F\cdot p^{5}+G\cdot p^{6}+H\cdot p^{7}+J\cdot p^{8}}\cdot dp$
Existuje nějaký postup pro obecné řešení té odmocniny? (V Bartschově kompendiu jsem nenašel...) Případně jak upravit ten polynom na součin?
Nasměroval byste mě někdo, prosím?

Bati · 05. 03. 2016 23:56

Zdravím ↑ Aerofil:,
je-li N stupeň polynomu pod odomcninou, pak:
$N\leq2$ ... výsledek lze explicitně napsat.
$N\leq4$ ... výsledek lze napsat pomocí známých ne-elementárních funkcí (např. eliptické integrály)
$N\geq5$ ... výsledek v obecném případě neumíme napsat ani pomocí eliptických integrálů, protože nelze ani vyjádřit kořeny vnitřního polynomu, na kterých výsledek závisí.

Numerická kvadratura je tedy pro tento integrál vhodná, protože
1) integrand je "hezká" funkce (skoro polynom)
2) nic jiného udělat nelze

Aerofil · 06. 03. 2016 12:49

↑ Bati:
Velice děkuji!
Tušil jsem to. Délku bude muset spočítat "tabulkovátor" (Excel).
Tímto uzavírám téma jako vyřešené.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2016 23:16

Délka křivky definované parametrickými polynomy.

#2 05. 03. 2016 23:56

Re: Délka křivky definované parametrickými polynomy.

#3 06. 03. 2016 12:49

Re: Délka křivky definované parametrickými polynomy.

Zápatí