Matematické Fórum

byk7 · 03. 03. 2016 16:16

Buď $\varphi :U\to U$ lineární zobrazení splňující $\varphi\circ\varphi=\varphi$ . Dokažte, že $U=\ker\varphi\oplus\mathrm{im}\varphi$ .

Upřímně, vůbec nevím, jak začít. Myslel jsem, že se mi podaří jít na to přes matice zobrazení, ale ukázalo se, že idempotentních matic je víc, než jen nulová a jednotková.

Ani se mně nepovedlo dokázat slabší tvrzení, že $U=\ker\varphi+\mathrm{im}\varphi$ .

Děkuji za nápady.

vanok · 03. 03. 2016 16:57 — Editoval vanok (03. 03. 2016 16:58)

Ahoj ↑ byk7:.
Navod
$x=\varphi (x)+(x-\varphi (x))$

Ze ti to staci.

vanok · 05. 03. 2016 20:36

Ahoj ↑ vanok:,
Treba dat uplny dokaz?

byk7 · 05. 03. 2016 20:45

↑ vanok:

To ne, jen si nejsem jist, jak interpretovat ten návod. Pro $x\in U$ je $\varphi(x)\in\text{im}\,\varphi$ a $(x-\varphi(x))\in\ker\varphi$ ?

vanok · 05. 03. 2016 23:26

Tak tu mas podrobnosti.
Nech $x\in U$ , potom $\varphi(x)\in\text{im}\,\varphi$ a $(x-\varphi(x))\in\ker\varphi$ ( to preto, ze $\varphi (x-\varphi (x))=...=0$ )
To znamena, ze $U \subset Im \varphi+Ker \varphi$
Opacna inkluzia je okamzite.

Teraz treba ukazat este $Im \varphi \cap Ker \varphi =\{0\}$
Nech $x \in Im \varphi \cap Ker \varphi$
$x \in Ker \varphi$ , a tak $\varphi (x)=0$

$x\in Im \varphi$ preto $\exists y, \varphi (y)=x$
To da $\varphi(x)=\varphi(\varphi(y))=\varphi(y)=x$ a tak $x=0$

Cize $Im \varphi \cap Ker \varphi \subset \{0\}$
Opacna inkluzia je trivialna.

Tak dobru noc