Matematické Fórum

Jofrey · 07. 03. 2016 20:52

Dobrý den.

Mám problém s touto matematickou úlohou:

Rozřízněte kouli o průměru 34 mm jedním rovným řezem tak, abyste odkrojili přesně jednu čtvrtinu jejího objemu. Jaká bude výška odkrojené kulové úseče?

Objem koule i úseče jsem vypočítal, ale jak přijít na její výšku?

Můžete mi někdo tuto výšku prozradit + to jak jste na to přišli?

Děkuji Vám.

gadgetka · 07. 03. 2016 21:04

$V=\frac 43 \pi r^3$
$\frac 14V=\frac 14 \cdot \frac 43 \pi r^3=\frac 13 \pi r^3$

$\frac 13\pi r^3=\frac{1}{6}\pi v\cdot (3\rho^2+v^2)$
$\rho^2=r^2-(r-v)^2$

Ahoj, z objemu koule vyjádříš jeho čtvrtinu a položíš ji rovnu objemu kulové úseče. Poloměr kulové úseče si vyjádříš pomocí Pythagorovy věty a dosadíš... :)

Jofrey · 07. 03. 2016 21:10

↑ gadgetka:
Vůbec nevím jak si vyjádřit poloměr té úseče...
Neznám ani výšku úseče, ani poloměr, pouze její objem...

gadgetka · 07. 03. 2016 21:16

Objem máš. Víš, že je to jedna čtvrtina objemu koule.
Objem koule je cca 20 569 mm^3.
Čtvrtina z toho je cca 5142 mm^3, což je objem kulové úseče.

Výpočet poloměru úseče jsem ti napsala. Jde o Pythagorovu větu.

Jofrey · 07. 03. 2016 21:30

↑ gadgetka:
Ano, k tomu objemu úseče jsem se také samozřejmě dopracoval.
Jen mi asi není zřejmé, kde stavíš ten Pythagorův trojúhelník... Případně tedy znám jen jednu jeho stranu (poloměr koule).

gadgetka

Jednu odvěsnu tvoří poloměr úseče a druhou odvěsnu poloměr koule mínus výška úseče.

Jofrey · 07. 03. 2016 21:37

↑ gadgetka:
Ano. :)
Ale ani u jedné této strany neznám její rozměry, pouze přeponu, kterou je poloměr koule...

Al1 · 07. 03. 2016 21:44

↑ Jofrey:

Zdravím,

máš obrázek?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

gadgetka · 07. 03. 2016 21:45

$\frac 13\pi r^3=\frac{1}{6}\pi v\cdot (3\rho^2+v^2)$
$\rho^2=r^2-(r-v)^2$

Druhou rovnici dosadíš do první a dostaneš rovnici s jednou neznámou ... jen mi z ní vychází kubická rovnice... ;)

Ještě mě napadá jeden způsob ... jdu to vyzkoušet na papír... ;)

Jofrey · 07. 03. 2016 22:22

Kdyby jste někdo přišel na velikost výšky úseče, byl bych Vám velice vděčný....

gadgetka · 07. 03. 2016 22:36

Po dosazení a úpravě vyjde kubická rovnice:
$\frac 13\pi r^3=\frac{1}{6}\pi v\cdot (3(r^2-(r-v)^2)+v^2)$
$2\pi r^3=\pi v\cdot (3(r^2-r^2+2rv-v^2)+v^2)$
$2r^3=v(6rv-3v^2+v^2)$
$2r^3=6rv^2-2v^3$
$r^3=3rv^2-v^3$
$v^3-3rv^2+r^3=0$

Honzc · 08. 03. 2016 07:55

↑ gadgetka:
Řešení tvé kubické rovnice:
Podělíme celou rovnici $r^{3}$ a zavedeme substituci $x=\frac{v}{r}$
Pak dostaneme $x^{3}-3x^{2}+1=0$
Pak pomocí goniometrického řešení kubické rovnice bude naším řešením kořen:
Platí: $\cos \varphi =\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi =60^\circ$
Pak $x=1-2\cos (60^\circ +\frac{60^\circ }{3})=1-2\cos 80^\circ \approx 0.6527036446661$
a tedy $v=0.6527036446661\, r$