Matematické Fórum

Pavel · 07. 03. 2016 21:29

Je známo, že

$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\frac{\pi}2\,.$

integrál konverguje a platí $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}x=0$ (nutná podmínka konvergence nevlastního integrálu).

Když však položíme substituci $x=\mathrm e^y$ , dostáváme

$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\int_{-\infty}^{\infty}\sin\left(\mathrm e^y\right)\,\mathrm dy.$

Nicméně

$\lim_{y\to\infty}\sin\left(\mathrm e^y\right)\quad\text{neex.}$ .

Vyplývá z toho spor s konvergencí původního integrálu? Je něco špatně s navrženou substitucí?

Bati · 08. 03. 2016 00:24

↑ Pavel:
Co to je nutná podmínka konvergence nevlastního integrálu? A jak si to poradí třeba s
$f(x):=\{\begin{matrix} 1 & x\in(\sum_{k=1}^{n-1}k^{-1},\sum_{k=1}^{n-1}k^{-1}+\tfrac12n^{-1}]\\ -1 & x\in(\sum_{k=1}^{n-1}k^{-1}+\tfrac12n^{-1},\sum_{k=1}^{n}k^{-1}] \end{matrix}\right.$ , $n\in\mathbb{N}$ ?

Pavel · 08. 03. 2016 00:30 — Editoval Pavel (08. 03. 2016 00:31)

↑ Bati:

:-) Je to tak. Ne vše, co platí u nekonečných řad, platí i u nevlastních integrálů.

Bati · 08. 03. 2016 00:38

:-) Musím uznat, že jsem to odhalil až po chvíli. Je to hezká ukázka toho, co se může stát, když se podcení důkaz nějakého jednoduchého faktu jako

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}x=0$

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2016 21:29

Kde je chyba?

#2 08. 03. 2016 00:24

Re: Kde je chyba?

#3 08. 03. 2016 00:30 — Editoval Pavel (08. 03. 2016 00:31)

Re: Kde je chyba?

#4 08. 03. 2016 00:38

Re: Kde je chyba?

Zápatí