Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » A binomial sum (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 10. 03. 2016 20:24 — Editoval Marian (10. 03. 2016 20:28)
A binomial sum
Prove that for every real number x the following identity holds true:
where the second binomial coefficient is the usual generalization of the binomial coefficient to non-integer arguments.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Marian)
#2 11. 03. 2016 00:11 — Editoval Pavel (11. 03. 2016 00:14)
Re: A binomial sum
in the following way:
we have
and get![$
\boldsymbol{\Delta_n^{L-1}a_{1,L}}
&=(-1)^{L-1}\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}a_{r+1,L}
=(-1)^{L-1}\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}\prod_{i=1}^L(x+i+r)\\[.5\baselineskip]
&=L!\cdot(-1)^{L-1}\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}\frac{\prod_{i=1}^L(x+i+r)\cdot\Gamma(r+x+1)}{L!\cdot \Gamma(r+x+1)}\\[.5\baselineskip]
&=L!\cdot(-1)^{L-1}\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}\frac{\Gamma(L+r+x+1)}{L!\cdot \Gamma(r+x+1)}\\[.5\baselineskip]
&=\boldsymbol{L!\cdot(-1)^{L-1}\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}{L+r+x\choose L}}
$](/mathtex/7c/7c9daa2b5c9da24423350b48ddba2402.gif "kopírovat do textarea")
is the gamma function defined by the identity 
.
![$
L!\cdot(-1)^{L-1}\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}{L+r+x\choose L}&=L!\cdot(x+L)\\[.5\baselineskip]
{\color{blue}\boldsymbol{\sum_{r=0}^{L-1}(-1)^r{L-1\choose r}{L+r+x\choose L}}}&\mathrel{\color{blue}\boldsymbol{=(-1)^{L-1}\cdot(x+L)}}
$](/mathtex/4e/4e811f95925e1506288e4724db435838.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 11. 03. 2016 04:40
Re: A binomial sum
I also used the method of differences. My original problem was to evaluate the sum
Such sums and their closed form evaluations can be often used to find certain 'parametric' generalizations of multiple zeta values.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » A binomial sum (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)