Matematické Fórum

bert.blader · 12. 03. 2016 12:32

Zdravím, našel by se tu někdo, kdo by mi názorně ukázal jak ověřit stejnoměrnou konvergence funkční řady pomocí Weierstrassova kritéria? Mám k dispozici definici, ale nevím jak ji prakticky aplikovat.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/82039_1_Funkcni_posloupnosti_a_rady.pdf.png

Řekněme například, že mám příklad $\sum_{n=1}^{\infty }sin^{n}x$ , konvergenci hledám na intervalu $(\frac{3\pi }{4}, \pi )$

Už jsem zkontroloval nutnou podmínku stejnoměrné konvergence, tedy že posloupnost $f_{n}(x) = sin^{n}x$ na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k nulové funkci. A co dál?
Děkuji

Bati · 12. 03. 2016 14:13

Ahoj ↑ bert.blader:.
Na $[\tfrac34\pi,\pi]$ je $0\leq\sin{x}\leq\tfrac1{\sqrt2}=2^{-\frac12}$ , takže $0\leq\sin^nx\leq 2^{-\frac{n}2}=:b_n$ . Podle W. věty tedy stačí ověřit konvergenci $\sum b_n$ .

Pavel · 12. 03. 2016 14:58

↑ bert.blader:

Trochu odbočím - docela by mě zajímal význam spojení "pro skoro všechna n". Znám jej totiž v jiném kontextu. Předpokládám, že je to totéž jako spojení "pro dostatečně velká n".

jarrro · 12. 03. 2016 15:17 — Editoval jarrro (12. 03. 2016 15:19)

pri prirodzených číslach resp. spočítateľných množinách to podľa mňa znamená , že len konečne veľa to nesplňuje

Pavel · 12. 03. 2016 16:58

↑ jarrro:

Myslel jsem si to, jen jsem to spojení v kontextu nejvýše spočetných množin neslyšel.

Bati · 12. 03. 2016 17:27

↑ Pavel:
Já jsem na tom stejně.

bert.blader · 12. 03. 2016 19:00

↑ Bati:
Děkuji, takže v daném případě jen určím zda konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}$
Ta konverguje (geometrická řada), takže i řada $\sum_{n=1}^{\infty }sin^{n}x$ na intervalu $(\frac{3\pi }{4}, \pi )$ stejnoměrně konverguje.

Když se nad tím zamyslím, platí tedy, že řada $\sum_{n=1}^{\infty }sin^{n}x$ konverguje na všech intervalech, které NEOBSAHUJÍ člen $\frac{\pi }{2}+k\pi$ . Tedy všechny body, kde je funkční hodnota $sin^{n}x$ rovna +1 nebo -1?
A ještě je podmínka, že body $\frac{\pi }{2}+k\pi$ nesmí být ani supremem/infimem daných intervalů, protože tam posloupnost $sin^{n}x$ nekonverguje stejnoměrně k nulové funkci.

Pokud vyjmu tyto body/intervaly, tak budu moci jako $b_{n}$ ve Weierstrassově větě vždy zvolit geometrickou řadu $\sum_{n=1}^{\infty }q^{n}$ , kde $q<1$ .

Uvažuji správně?

Bati · 13. 03. 2016 12:42

↑ bert.blader:
Přesně tak - nejvíc, co lze říct o stejnoměrné konvergenci této řady je to, že konverguje stejnoměrně na všech uzavřených intervalech obsažených v $(-\tfrac{\pi}2,\tfrac{\pi}2)$ (nebo $(\tfrac{\pi}2,\tfrac{3\pi}2)$ apod.). Často se v této situaci říká, že řada (nebo posloupnost) konverguje lokálně stejnoměrně v $(-\tfrac{\pi}2,\tfrac{\pi}2)$ .

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2016 12:32

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#2 12. 03. 2016 14:13

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#3 12. 03. 2016 14:58

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#4 12. 03. 2016 15:17 — Editoval jarrro (12. 03. 2016 15:19)

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#5 12. 03. 2016 16:58

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#6 12. 03. 2016 17:27

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#7 12. 03. 2016 19:00

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

#8 13. 03. 2016 12:42

Re: Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence funkční řady

Zápatí