Matematické Fórum

vytautas · 14. 03. 2016 20:55

Zdravím

potreboval by som pomoc s limitou $\lim_{n \to +\infty}(\frac{a^n}{n}+\frac{1}{n^2a^n}-nb^n)^{\frac{1}{n}}$
keď $a,b>0$ .

potreboval by som hint ako zvoliť odhady pre použitie vety o dvoch policajtoch.

ďakujem .

Rumburak · 15. 03. 2016 10:01

↑ vytautas:

Ahoj.

Jde o úlohu závislou na parametrech $a, b$ .

Především potřebujeme zajistit, aby výraz v závorce byl od jisté hodnoty $n$ výše nezáporný.

vytautas · 16. 03. 2016 10:19

↑ Rumburak:

Áno, prirodzene.. Skúšal som to previezť na spoločného menovateľa, no nikam ma to nedoviedlo.

Rumburak · 16. 03. 2016 16:39

↑ vytautas:

Netvrdím, že řešení znám. Řekl bych, že je důležité začít vyšetřením speciálních případů.
Například je jasné, že pro $a = 1 , b \ge 1$ limita neexistuje.
Také se zdá, že k případům $a < 1, a > 1$ bude možno přistupovat analogickým způsobem .
Případ $b < 1$ nepovede ke konfliktům s předpoklady v definici limity.

vytautas · 16. 03. 2016 18:00

↑ Rumburak:

ďakujem za reakciu. čo by sa zmenilo, keby celý výraz pod odmocninou bol v absolútnej hodnote ? dalo by sa to nejako odhadnúť ? skúšal som trojuholníkovú nerovnosť, no stále bez výsledku.

Rumburak

↑ vytautas:

Napadla mne úprava

$(\frac{a^n}{n}+\frac{1}{n^2a^n}-nb^n)^{\frac{1}{n}} = b (\frac{a^n}{n b^n}+\frac{1}{n^2a^n b^n}-n)^{\frac{1}{n}}= b (\frac{c^n}{n}+\frac{d^n}{n^2}-n)^{\frac{1}{n}}$ .

Když aspoň jedno z čísel $c = a/b, d = 1/(ab)$ bude > 1, potom výraz v závorce půjde k $+\infty$ ,
v opačném příladě k $-\infty$ a zde tedy limita nebude existovat.

Ještě můžeme ze závorky vytknout $n$ a využít skutečnosti, že limita posloupnosti $(n^{\frac{1}{n}})$ je 1.

Zbývá tedy vyšetřit limitu z $(\frac{c^n}{n^2}+\frac{d^n}{n^3}-1)^{\frac{1}{n}}$ za předpokladu, že $c, d$ jsou kladná čísla, z nichž
aspoň jedno je > 1. Dále

$(\frac{c^n}{n^2}+\frac{d^n}{n^3}-1)^{\frac{1}{n}}= (\frac{nc^n + d^n}{n^3}-1)^{\frac{1}{n}}$ .

Nabízí se i možnost jít na to přes limitu z logaritmu tohoto výrazu.