Matematické Fórum

Octavianus · 19. 03. 2016 22:50

Ahojte, mám zde další příkládek:

zadání:
$2\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-4)^2=0$

úpravou dostanu:

$\log_{3}(x-2)^2+\log_{3}(x-4)^2=0$

při odstranění logaritmů a roznásobení závorek dostávám opravdu dlouhý mnohočlen, ze kterého není vidět výsledek

napadla mě ještě jedna cesta a to vytknout $\log_{3}(x-2)$

dostanu:
$\log_{3}(x-2)(x+4)=0$

z toho vyjde krásný diskriminant, ale špatné výsledky, je vůbec takovéhle úprava povolená?

Jak mám prosím postupovat?

S pozdravem, Octavianus

Elisa · 19. 03. 2016 22:55 — Editoval Elisa (19. 03. 2016 22:56)

0 převedeš na $\log_{3}1$ a odstraníš logaritmy

Octavianus · 19. 03. 2016 23:22

↑ Elisa:

jak můžu převést na $\log_{3}1$ když tam mám neznámé?

Elisa · 19. 03. 2016 23:26 — Editoval Elisa (19. 03. 2016 23:27)

Aby jsi mohl odstranit logaritmy, musí mít stejný základ: 3, vyřešíš tedy "rovnici"
$\log_{3}x=0$
z definice logaritmu pak $3^{0}=x$
x = 1

Octavianus · 19. 03. 2016 23:37

↑ Elisa:

to ano, takže jsem zapomněl na nulu v levé straně rovnice, ale co pravá strana rovnice, při roznásobení dostávám dlouhý mnohočlen, nevím si s ním vůbec rady

Elisa · 19. 03. 2016 23:41 — Editoval Elisa (19. 03. 2016 23:42)

Máš rovnici $(x-2)^{2}(x-4)^{2}-1=0$
Můžeš ji rozložit pomocí vzorce $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
a = (x-2)(x-4)
b = 1

Octavianus · 19. 03. 2016 23:47

↑ Elisa:

aha, takže celou rovnici poté odmocním, výborně, díky

Elisa · 19. 03. 2016 23:51

Vznikne Ti: $(x^{2}-6x+7)(x^{2}-6x+9)=0$
Rovnice bude 0, když jedna nebo druhá závorka bude 0, takže řešíš dvě kvadratické rovnice. Vyjdou Ti 4 kořeny a ty pak musíš ještě zkloubit s podmínka pro argument logaritmu.

Octavianus · 19. 03. 2016 23:52

↑ Elisa:

no jo, ale tím dostaneme pouze jeden výsledek a to z diskriminantu ten je roven:

$x=3+\sqrt{2}$

ale co druhý výsledek - výsledek $x=3$ ?

Elisa · 19. 03. 2016 23:58

Taky mi to tak vyšlo. Máš výsledky? Kolik to má vyjít?

gadgetka

Jednodušší řešení:

$2\log_{3}(x-2)+2\log_{3}(x-4)=0$
$2(\log_3(x-2)+\log_3(x-4))=0$
$\log_3(x-2)+\log_3(x-4)=0$
$\log_3{(x-2)(x-4)}=0$
$(x-2)(x-4)=1$

Octavianus · 20. 03. 2016 00:02

↑ Elisa:

tak až teď jsem to spolehlivě pobral, zase tam bylo skryto něco co mi uniká, no jo cvičení dělá mistra

Octavianus · 20. 03. 2016 00:05

↑ gadgetka:

takhle ti tam ale bude chybět jedno řešení

Octavianus · 20. 03. 2016 00:07

↑ Elisa:

výsledky jsou dva a to:

$x=3+\sqrt{2}$

$x=3$

gadgetka

Tak ještě jedno řešení, zaveď substituci:
$(x-2) = t \Rightarrow (x-4)=t-2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Al1 · 20. 03. 2016 08:50

↑ Octavianus:

Zdravím,

reaguji na tvůj přípěvek #7

Octavianus napsal(a):
aha, takže celou rovnici poté odmocním

To není správná úvaha. ↑ Elisa: ti doporučila využít rozkladu na součin, což není totéž jako odmocnění!!

Octavianus · 20. 03. 2016 10:38

REKAPITULACE:

zadání:
$2\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-4)^2=0$

převedení na logaritmi

$\log_{3}(x-2)^2+\log_{3}(x-4)^2 = \log_{3}1$

odstraněním logaritmů dostanu:

$(x-2)^2 . (x-4)^2 - 1= 0$

úpravou na čtverec:

$[(x-2) . (x-4) - 1].[(x-2) . (x-4) +1]= 0$

výpočtem dostanu:

$(x^2-6x+7)(x^2-6x+9)=0$

otázka zní, kdy se jednotlivé součiny budou rovnat nule? Počítám tedy diskriminanty
pro první rovnici my vyjdou výsledky:
3 $3 \pm\sqrt{2}$

pro druhou potom:
$x=3$

z podmínek pro rovnici vyplývá že

$x\in (2,nekonečna)$

výsledky jsou tedy dva a to $x=3 \wedge x=3+\sqrt{2}$