Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 03. 2016 21:49

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   
 

Gröbnerova báze

Dobrý večer přeji,
našel by se tu nějaký odborník na Gröbnerovy báze? Zápasím tu s jedním příkladem. Už jsem myslel, že jsem tomu přišel na kloub. Chybí mi ale k cíli ještě pár kroků.

Zadání:
$\text{Spočtěte Gröbnerovu bázi } I=(f_1,f_2,f_3) \text{, kde}$
$f_1=x^2+y+z-1\\
f_2=x+y^2+z-1\\
f_3=x+y+z^2-1.$

Wolfram ukazuje odpověď:
$(x+y+z^2-1,\\
y^2-y-z^2+z,\\
2yz^2+z^4-z^2,\\
z^6-4z^4+4z^3-z^2)$
...a to vypadá jako dobrá odpověď, chtěl bych k ní dojít sám (tj. umět k ní dojít, proto žádám o pomoc, teď mi připadne, že to sám nedokážu)

Počítám $S(f_i,f_j)$, no díky symetrii je docela jedno, které vezmu, takže:
$S(f_1,f_2) = y^2f_1-x^2f_2$
To podle vedoucích koeficientů, tímto se jich zbavím. Pak je potřeba dále se zbavovat koeficientů a postupně jsem došel (nebudu to sem dávat celé) k následující kombinaci:
$(y^2+x+z)f_1+(-x^2-y-z)f_2=x^2-x-y^2+y$
Symetricky se lze dostat k
$x^2-x-z^2+z,y^2-y-z^2+z$.

Teď nevím, jestli vzít dva z nich a na konci se jednoho zbavím, nebo už teď mi stačí přidat ten wolframem napovězený třetí. Řekněme, že pojedu takto:
$f_4=y^2-y-z^2+z$

a potřebuji dále počítat $S(f_1,f_4),S(f_2,f_4),S(f_3,f_4)$

Ono se s tím počítá jako s kongruencemi, mám:
$S(f_2,f_4)=f_3\equiv 0$
$S(f_3,f_4)=f_2\equiv 0$

A s $S(f_1,f_4)$ mám pořád problém, možná nakonec mám vzít $f_5$ nějaký ten symetrický a počítat $S(f_4,f_5)$?

$S(f_1,f_4)=y^2f_1-x^2f_4=\\
=x^2y+x^2z^2-x^2z+y^3+y^2z-y^2
$

Jak s tímhle pak pracovat? Můžu x^2 nahradit 1-y-z (protože f_1), a y+z^2-z nahradit y^2 (protože f_4)...
$x^2y+x^2z^2-x^2z+y^3+y^2z-y^2=\\
=x^2(y+z^2-z)+y^2(y+z-1)=\\
=(1-y-z)y^2+y^2(y+z-1)
$

To je nula? Je to dobře? Jak mám pokračovat v tomto Buchbergerově algoritmu?
Děkuji za jakoukoliv radu.
kolejo

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) kolejo)

#2 20. 03. 2016 10:49

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Gröbnerova báze

↑ kolejo:

nazdar kolejo, ty měchu, už jsem na to přišel. je to fakt jednoduchý, tys na to šel totiž docela blbě! (špatně jsi pochopil to uspořádání)
nebudu ti to TeXovat, to je zbytečný, se v tom vyznáš, ne?

nejdřív vezmeš S(f2,f3)=f2-f3=y^2-y-z^z+z, to je tvůj f4 a máš ho hned.
S(f1,f3)=f1-xf3=-xy-xz^2+x+y^2+yz^2+z-1
přičti yf3 ... -xz^2+x+y^2+yz^2+z-1
přičti z^2f3 ... x+y^2+2yz^2+z^4-z^2+z-1
přičti -f2 (to jest odečti f2, f2=f3+f4 btw)
f4=2yz^2+z^4-z^2
S(f4,f5)=2z^2f4+(-y+z^2*1/2+1/2)f5
to je jako celá kombinace, pak vyhodíš f1,f2, a máš čtyři polynomy v bázi...
není to všechno, ale takhle ti to stačí, žejo?
když tak dej vědět. jsem na příjmu

Offline

 

#3 20. 03. 2016 10:50

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Gröbnerova báze

↑ kolejo:

Jó, díky, už tomu rozumím. Takhle mi to stačí.
Měj se, a označuji za vyřešené.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson