Matematické Fórum

Freedy · 20. 03. 2016 01:23 — Editoval Freedy (20. 03. 2016 01:24)

Ahoj,

přemejšlel jsem o funkci $f(x) = \sqrt[3]{x}$ , která jak jistě každý ví, roste nekonečně rychle v 0 a přitom je v tomto bodě spojitá a má v tomto bodě konečnou hodnotu.
Zajímalo by mě, pokud bych vytvořil funkci:
$W(x)=\prod_{r\in (0,\frac{1}{2})}^{}\sqrt[3]{x+r}$
kde $r\in \mathbb{Q}$ z toho uvedeného intervalu.
Lze takovouto funkci vůbec definovat?
Definiční obor této funkce by byl $D_W= \bigg\langle0,\frac{1}{2}\bigg\rangle$ a funkce by potom nekonečně rychle rostla v každém racionálním bodě $x\in \bigg\langle0,\frac{1}{2}\bigg\rangle$ a přitom by ta funkce byla spojitá v každém bodě $x\in \bigg\langle0,\frac{1}{2}\bigg\rangle$ a byla rovna 0 pro všechna tato x.

Nebo nelze takto definovat funkce pro racionální čísla? Popřípadě by to šlo ještě nakombinovat nějak ve smyslu:
$\prod_{i=1}^{\infty }\prod_{j=1}^{\infty }\sqrt[3]{x+\frac{i}{j}}$ a omezit ten zlomek, jenže to není podstatou otázky.

Díky
Freedy

Bati · 20. 03. 2016 09:44

Ahoj.

Freedy napsal(a):
funkce by potom nekonečně rychle rostla v každém racionálním bodě $x\in \bigg\langle0,\frac{1} {2}\bigg\rangle$

To se mi nezdá, to bys tam musel mít $\sqrt{x-r}$ , ale to ti zas ovlivní ten definiční obor. Dokonce si sám protiřečíš s

Freedy napsal(a):
byla rovna 0 pro všechna tato x.

Dokud se bavíme o funkcích (a ne distribucích), tak když je něco identicky nula, tak to nemůže nikde růst.

Stýv · 20. 03. 2016 09:49

1) nechtěl jsi napsat $W(x)=\prod_{r\in (0,\frac{1}{2})}^{}\sqrt[3]{x-r}$ ?
2)

funkce by potom nekonečně rychle rostla v každém racionálním bodě $x\in \bigg\langle0,\frac{1}{2}\bigg\rangle$

říká kdo?

Freedy · 20. 03. 2016 12:21

↑ Stýv:
↑ Bati:
ano teď mi to došlo. Má tam být:
$W(x)=\prod_{r\in (0,\frac{1}{2})}^{}\sqrt[3]{x-r}$ definiční obor bude stejný. Koukám, že ta polovina tam ani být nemusí a může ta funkce vypadat následovně:
$W(x)=\prod_{r\in (0,1)}^{}\sqrt[3]{x-r}$
s definičním oborem $D_W=(0,1)$ .

Stýv napsal(a):
říká kdo?

No právě to se ptám. Protože podle mě by derivace této funkce vyšla tak, že by tam v lib. racionálním bodě byla všude hodnota nenulová reálná, pouze v tom jednom racionálním bodě by se limitně blížila hodnota +nekonečnu a tedy by tam rostla nekonečně rychle.

Původně jsem to chtěl zavádět pro reálná čísla, ale jestliže jsou nespočetná, tak by snad ani nemělo smysl bavit se o nějakém nespočetném součinu.

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2016 01:23 — Editoval Freedy (20. 03. 2016 01:24)

Funkce - derivace

#2 20. 03. 2016 09:44

Re: Funkce - derivace

Freedy napsal(a):

Freedy napsal(a):

#3 20. 03. 2016 09:49

Re: Funkce - derivace

#4 20. 03. 2016 12:21

Re: Funkce - derivace

Stýv napsal(a):

#5 20. 03. 2016 21:00 Příspěvek uživatele Pavel byl skryt uživatelem Pavel. Důvod: chybná úvaha

Zápatí