Matematické Fórum

patan61 · 22. 03. 2016 15:32

Zdravím,

mám problém s vyřešením tohohle příkladu: Čtverec je vepsán do elipsy $2x^2+y^2-4x+4y-102=0$ a mám zjistit souřadnice vrcholů čtverce, už tady sedím hodinu a přestává mě to bavit tak bych poprosil o pomoc :)

Jj · 22. 03. 2016 15:43

↑ patan61:

Dobrý den.

Takže už jste se určitě k něčemu dobral - bylo by vhodné to tu napsat.

patan61 · 22. 03. 2016 16:00

↑ Jj: Bojím se, že ani nevím čím začít dobral jsem se k tomu, že vím jaký je střed $2(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=108$

$2(x-1)^2+(y+2)^2=108$ => x=1 y=-2

ani nevím jestli to potřebuju :/ tohle je vše

zdenek1 · 22. 03. 2016 16:26

↑ patan61:
Ano, to se hodí.
Nyní tím středem veď přímky svírající s osou $x$ $\pm45^\circ$ . Tam, kde ti přímky protnou elipsu, máš hledané vrcholy.

gadgetka

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: Pozdě :)

patan61 · 22. 03. 2016 17:40

Dobře, když už jsme u toho tak jak mám vést přímku která svírá s osami 45 stupnů hledal jsem na internetu a nic jsem nenasel :/

Al1 · 22. 03. 2016 17:46 — Editoval Al1 (22. 03. 2016 17:47)

↑ patan61:

Zdravím,

taková přímka má směrnici 1 nebo -1. Pro přímku danou rovnicí $y=ax+b$ se směrnicí a platí, že $a=\text{tg}\varphi$ , kde úhel $\varphi$ je úhel, který svírá přímka s kladnou osou x.

Tedy $\text{tg}45^\circ =1, \text{tg}(-45^\circ )=-1$ a přímky budou $y=x+b_1, y=-x+b_2$ a budou procházet středem elipsy $[1;-2]$

patan61 · 22. 03. 2016 18:02

↑ Al1: moc nechápu ten první tvar rovnice co jste napsal (y=ax+b) potřeboval bych obecný tvar rovnic těch úhlopříček abych jen dosadil do rovnice elipsy a měl výsledné body

Jj · 22. 03. 2016 18:07 — Editoval Jj (22. 03. 2016 18:08)

↑ gadgetka:

Řekl bych, že se úloha trochu zpřehlední transformací souřadnic posunutím do středu elipsy, tzn. transformace

X = x - 1, Y = y + 2

--> transformovaná rovnice elipsy: $2X^2+Y^2=108$ , transformované rovnice os úhlů $Y=\pm X$

vyřešit uvedenou jednodušší soustavu rovnic a provést zpětnou transformaci souřadnic spočítaných vrcholů čtverce posunutím "nazpátek".

patan61 · 22. 03. 2016 18:15

Kompletně se ztrácím mohl by jste mi prosím jen napsat konečný stav těch dvou rovnic? pokud je to moc práce vykašlete se na to, pověřím tím učitelku přece jen je za to placená :D

Jj · 22. 03. 2016 18:33 — Editoval Jj (22. 03. 2016 18:34)

↑ patan61:

$2X^2+Y^2=108$

po dosazení za Y z rovnic 'Y=+X' i 'Y = -X' dostaneme rovnici

$3X^2 = 108\Rightarrow X^2 = 36\Rightarrow X=\pm 6$ a dále $\Rightarrow Y=\pm 6$

--> řešení (X,Y)=(6,6), (6,-6), (-6,6), (-6,-6)

Teď ještě transformace "zpět": x = X + 1, y = Y - 2

patan61 · 22. 03. 2016 19:04

↑ Jj:Neskutečně jste mi pomohl děkuju moc :)

Al1 · 22. 03. 2016 20:13

↑ patan61:

Mé řešení: hledám průsečík přímky $y=x-3$ a elipsy $2(x-1)^2+(y+2)^2=108$

$2(x-1)^{2}+(x-1)^{2}=108\nl 3(x-1)^{2}=108\nl (x-1)^{2}=36\nl |x-1|=6$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jinak y=ax+b je směrnicová rovnice přímky (a také předpis lineární funkce, jejímž grafem je přímka)

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2016 15:32

Elipsa

#2 22. 03. 2016 15:43

Re: Elipsa

#3 22. 03. 2016 16:00

Re: Elipsa

#4 22. 03. 2016 16:26

Re: Elipsa

#5 22. 03. 2016 16:31 — Editoval gadgetka (22. 03. 2016 16:31)

Re: Elipsa

#6 22. 03. 2016 17:40

Re: Elipsa

#7 22. 03. 2016 17:46 — Editoval Al1 (22. 03. 2016 17:47)

Re: Elipsa

#8 22. 03. 2016 18:02

Re: Elipsa

#9 22. 03. 2016 18:07 — Editoval Jj (22. 03. 2016 18:08)

Re: Elipsa

#10 22. 03. 2016 18:15

Re: Elipsa

#11 22. 03. 2016 18:33 — Editoval Jj (22. 03. 2016 18:34)

Re: Elipsa

#12 22. 03. 2016 19:04

Re: Elipsa

#13 22. 03. 2016 20:13

Re: Elipsa

Zápatí