Matematické Fórum

bert.blader · 24. 03. 2016 15:05

Dobrý den, mám problém s jedním příkladem. Můj výsledek se liší od výsledku v zadání.
Příklad: Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci následující funkční posloupnosti na intervalech I1 a I2:
$f_{n}(x)=\sqrt[n]{x}$ , $I_{1}=(0,2)$ , $I_{2}=(0,4)$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nejprve jsem určil bodovou konvergenci a limitní funkci:
$f(x) = 0$ pro $x=0$
$f(x) = 1$ pro $x>0$

Pro výpočet jsem použil lim sup podmínku.
Jelikož je funkce ostře rostoucí, tak za suprémum dosadím pravý krajní bod intervalu.

1. pro interval $I_{1}=(0,2)$
$\lim_{n\to\infty } sup |f_{n}(x)-f(x)| = \lim_{n\to\infty }(\sqrt[n]{2}-1)=0$

Funční posloupnost tedy na intervalu I1 konverguje stejoměrně k limitní funkci.

2. pro interval $I_{0}=(2,4)$
$\lim_{n\to\infty } sup |f_{n}(x)-f(x)| = \lim_{n\to\infty }(\sqrt[n]{4}-1)=0$

Funční posloupnost tedy na intervalu I2 konverguje stejoměrně k limitní funkci.

---------------------------------------------------------------------------------------------

Tolik moje řešení, ve výsledcích se píše následující:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/28182_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Jaké řešení je tedy správně? Pokud ne moje, tak proč?
Děkuji

Bati · 24. 03. 2016 15:32

Ahoj ↑ bert.blader:,
$f_n$ jsou sice rostoucí funkce pro každé n, ale $|f_n-f|$ už ne, problém je v nule.

To, že to nebude konvergovat stejnoměrně je ale vidět na první pohled, protože limitní funkce je nespojitá.

bert.blader

Už to vidím, nakreslil jsem si jak vypadají grafy. Zapomněl jsem započítat roli absolutní hodnoty.
Děkuji moc.

bert.blader · 24. 03. 2016 16:43

↑ Bati:
Ještě bych se chtěl zeptat, zda lze tedy obecně říct, že pokud je limitní funkce nespojitá v krajním bodě intervalu, na kterém hledáme stejnoměrnou konvergenci, tak funkce na tomto intervalu nekonverguje stejnoměrně.

Bati · 24. 03. 2016 17:35 — Editoval Bati (24. 03. 2016 17:36)

Matematické Fórum

#1 24. 03. 2016 15:05

Stejnoměrná konvergence

#2 24. 03. 2016 15:32

Re: Stejnoměrná konvergence

#3 24. 03. 2016 16:22 — Editoval bert.blader (24. 03. 2016 18:06)

Re: Stejnoměrná konvergence

#4 24. 03. 2016 16:43

Re: Stejnoměrná konvergence

#5 24. 03. 2016 17:35 — Editoval Bati (24. 03. 2016 17:36)

Re: Stejnoměrná konvergence

Zápatí