Matematické Fórum

vanok · 18. 03. 2016 19:59

Pozdravujem.
Nech x, y su dva prvky jednej grupy G ( konecna alebo nie). Dokazte ze rad xy je rovny radu yx.

holyduke · 18. 03. 2016 23:43

vanok · 19. 03. 2016 02:09

Ahoj ↑ holyduke:,
Dobre myslienky, ale chybaju upresnenia tykajuce sa k, p.
Presnejsie:
Tvoja relacia $(xy)^{p}=e$ neznamena este, ze $p$ je rad prvku xy.
Ako treba upresnit tvoj pokus dokazu, aby sa stal skutocny dokaz?

Poznamka: tvoje oznacenie grupy multiplikativnym sposobom je dobre vybrane ( podla zvyku oznacenia nekomutativnych grup, a vtedy sa moze pisat 1, miesto e).

holyduke · 19. 03. 2016 09:00

↑ vanok:
Že p i k jsou nejmenší možná přirozená čisla tak, aby platily uvedené rovnosti.
Nechtéla se mi opisovat definice řádu, ale máš pravdu, že bez toho to není jednoznačný :)

vanok · 19. 03. 2016 10:16 — Editoval vanok (19. 03. 2016 10:38)

↑ holyduke:,
Ano,
A tak napr. Nech p, k su respektivne rady prvkov xy a yx
Tvoja prva skupina implikacii rovnosti z komentarmy
$\underbrace{(xy)\cdot \ldots \cdot (xy)}_{\text{p krát}}=e$ ( kompozicia na lavo prvkom $x^{-1}$ a na pravo prvkom $y^{-1}$ , da po pouziti associativityp)
$\underbrace{(yx)\cdot \ldots \cdot (yx)}_{\text{p-1 krát}}=x^{-1}y^{-1}$ (...)
$\underbrace{(yx)\cdot \ldots \cdot (yx)}_{\text{p krát}}=x^{-1}y^{-1}(yx)=e$

Posledna rovnosti, z nich da, ze rad k prvku yx deli rad p prvku xy.

A podobne opacna implikacia....

Na koniec je lahko vidiet, tento dokaz plati aj pre nekonecne grupy.
(

Cize klucova myslienka je, ze napr. $(xy)^{m}=1$ , m kladne, znamena ze rad p prvku xy deli m.
Tak oprav a dopln tvoj pokus dokazu, aby to dalo dokonaly dokaz.

Poznamka: pridam, tu na fore, dalsie cvicenia z teorie grup, pre ktore sa casto vidia nedostatocne riesenia ...

holyduke · 25. 03. 2016 12:59

↑ vanok:
Tak teda dokonaleji:
Mějme grupu $(G,\cdot )$ s neutrálním prvkem $e$ .
Dokazujeme, že $(x\cdot y)^{p}=e; (y\cdot x)^{k}=e \Rightarrow p=k$ kde $p$ (resp. $k$ ) je řád prvku $xy$ (resp. $y\cdot x$ )

Podle prvního vztahu platí:
$\underbrace{(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)\cdot \ldots \cdot (x\cdot y)}_{\text{p krát}}=e$
Jelikož se pohybujeme v grupě, můžeme využít asociativitu a libovolně přezávorkovat:
$x\cdot \underbrace{ (y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p-1 krát}}\cdot y=e$
Jelikož ke každému prvku určitě existují inverzní prvky, můžeme vynásobit rovnici $x^{-1}$ zleva a $y^{-1}$ zprava, na pravé straně využijeme vlastnosti neutrálního prvku:
$x^{-1}\cdot x \cdot \underbrace{(y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p-1 krát}}\cdot y\cdot y^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$
Využijeme vlastnosti inverzních prvků:
$\underbrace{(y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p-1 krát}}=x^{-1}\cdot y^{-1}$
Vynásobíme prvkem $(y\cdot x)$ zprava a opět s využitím inverzních prvků a asociativity máme:
$\underbrace{(y\cdot x)\cdot \ldots \cdot (y\cdot x)}_{\text{p krát}}=x^{-1}\cdot y^{-1}\cdot (y\cdot x)=x^{-1}\cdot (y^{-1}\cdot y)\cdot x=x^{-1}\cdot e \cdot x=e$
Takže: $(y\cdot x)^{p}=e$
Tím p musí být nutně násobkem k, neboli $k|p$ .

Analogicky bychom ukázali, že také $p|k$ .
Dostáváme tedy $k|p\wedge p|k \Leftrightarrow k=p$ .