Matematické Fórum

Pritt · 25. 03. 2016 11:53 — Editoval Pritt (25. 03. 2016 12:01)

Zdravím, koukám na tento integrál už nějakou dobu a furt mi nic nevyšlo. Jsem už z toho psychicky rozrušen, takže prosím o pomoc s řešením, což implikuje i zlepšení mého psychického stavu. Mělo by se to řešit metodou po částech..

$\int \frac{x\cdot e^{arctg(x)}}{(1+x^2)^{3/2}}dx$

Jj · 25. 03. 2016 12:14

↑ Pritt:

Dobrý den.

Řekl bych - nejdříve substituce x = tg t, až po ní integrace per partes.

Pritt · 25. 03. 2016 12:28

↑ Jj:
Dobrý den,

$S: x=tg(t) \\ t = arctg(x) \\ dt=\frac{1}{1+x^2}dx$
$\int \frac{tg(t)\cdot e^y}{\sqrt{tg^2(t)+1}}dt$

Teď jsem to zkusil znova, ale pořád nevím..

Jj · 25. 03. 2016 12:41

↑ Pritt:

$S: x=tg(t), \quad dx = \frac{dt}{\cos^2t}$

$\Rightarrow \int \frac{x\cdot e^{arctg(x)}}{(1+x^2)^{3/2}}dx \, \sim \int \frac{\text{tg}\, t\cdot e^t}{\cos^2t(1+\text{tan}^2t)^{3/2}}\,dt =\cdots$

Zjednodušit, pak per partes.

Pritt · 25. 03. 2016 12:57

↑ Jj:

Děkuji, teď už jsem se dostal k výsledku. Jenom bych potřeboval ukázat, že
$sin(arctg(x))-cos(arctg(x)) = \frac{x-1}{\sqrt{1+x^2}}$

Jj · 25. 03. 2016 13:08

↑ Pritt:

Užít vztahy

$\sin \alpha = \frac{\text{tg }\alpha}{\sqrt{1+\text{tg}^2 \alpha}},\quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2 \alpha}}$

Pritt · 25. 03. 2016 13:11

↑ Jj:

Děkuji, zachránil jste mě před šílenstvím... :-)

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2016 11:53 — Editoval Pritt (25. 03. 2016 12:01)

integrace per partes

#2 25. 03. 2016 12:14

Re: integrace per partes

#3 25. 03. 2016 12:28

Re: integrace per partes

#4 25. 03. 2016 12:41

Re: integrace per partes

#5 25. 03. 2016 12:57

Re: integrace per partes

#6 25. 03. 2016 13:08

Re: integrace per partes

#7 25. 03. 2016 13:11

Re: integrace per partes

Zápatí