Matematické Fórum

bert.blader · 26. 03. 2016 13:12

Zdravím, mám za úkol určit interval, na kterém daná funkční posloupnost konverguje stejnoměrně a na kterém stejnoměrně nekonverguje.

Funkční posloupnost je následující: $f_{n}(x)=arctan(\frac{x}{n})$

Oborem konvergence této poslounposti jsou reální čísla. Limitní funkce je na celém oboru konvergence rovna nule.
Z toho jsem usoudil, že funkce konverguje stejnoměrně na všech intervalech v R a neexistuje interval, kde stejnoměrně nekonverguje.

Ale ve výsledcích je, že daná posloupnost nekonverguje například na intervalu $(0,\infty )$

Vysvětlil by mi prosím někdo, jak se dojde k takovému závěru?

vlado_bb · 26. 03. 2016 14:33

↑ bert.blader:Napis, ako mate definovane slova "postupnost funkcii rovnomerne konverguje". Urcite nie tak, ze existuje bodova limita na celom obore konvergencie. V tom pripade by nebol rozdiel medzi bodovou a rovnomernou konvergenciou.

bert.blader · 26. 03. 2016 15:14

↑ vlado_bb:

Stejnoměrnou konvergenci jsme si definovali následujícím způsobem:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/00644_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Dále jsme si uváděli podmínku pro ověření stejnoměrné konvergence. Pposlounpost konverguje stejnoměrně na Intervalu M, jestliže se následující limita rovna nule

$\lim_{n\to\infty }\sup_{x\in M}|f_{n}(x)-f(x)|$

Kde f(x) je limitní funkce.

Ale pořád nevidím jak to vyřešit. Pokud dosadím do vzorečku tak dostanu:
$\lim_{n\to\infty }\sup_{x\in (0,\infty )}|arctan\frac{x}{n}-0|$

arctan je rostoucí funkce, supremum bude tedy v $x = \infty$ . Ale $n\to\infty$ . Nejsem si tedy jistý co s tím.

Mám spočítat následovně? (omluvte neformální zápis)
$\lim_{n\to\infty }arctan(\frac{x=\infty }{n}) = arctan(1) = \frac{\pi }{4}$

limita se nerovná nule, tím pádem posloupnost nekonverguje stejnosměrně.