Matematické Fórum

G.Jord · 28. 03. 2016 14:41

Ahoj, poslední dny koukám na lin. algebru a mám v tom nehorázný binčus.. Bohužel jsem nikdy názorný příklad nenašel, pouze jeden, kde zadané vektory v M zapisovali jako řádky matice..

Mám tedy příklad Určete nějakou bázi B a dimenzi M. Je zde
M=[(2 5 4 2), (0 1 -2 3). (2 1 0 1),(4 2 4 2)] (Tyto vektory jsou zadané jako sloupce..)
Já jsem to řešil tak, že jsem si jednotlivé vektory dal jako sloupce do matice a eliminioval, převedl do řádkově odstupňovaného tvaru. Došel jsem k tomuto výsledku.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/68613_matice.png

Tudíž bázové vektory budou b1 (5 0 0 0) b2 ( 1 -14/5 0 0) ... b4.
Dimenze, jelikož má každý vektor 4 prvky bude 4. Je můj postup správný? A co kdyby mne někdy vyšlo třeba 3 vektory, každý o čtyřech prvcích. Řešení by neexistovalo? Mnohokrát děkuji.

Freedy · 28. 03. 2016 15:04

Ahoj,

dimenze nějakého vektorového podprostoru je počet lineárně nezávislých vektorů tvořící bází tohoto podprostoru.
Dimenze není 4, protože každý vektor má 4 prvky, ale proto, protože posloupnost tvých vektorů je lineárně nezávislá a tedy tvoří bázi daného prostoru. Pokud se dimenze podprostoru $W\le V$ shoduje s dimenzí prostoru $V$ pak se jedná o celý prostor $V$ .
Tvoje čtyři vektory tedy tvoří bází prostoru $\mathbb{R}^4$

G.Jord · 28. 03. 2016 15:46 — Editoval G.Jord (28. 03. 2016 16:06)

Tedy, pokud-li si to dám dohromady.
Dimenze - počet lineárně nezávislých vektorů.
Jak prostor, tak podprostor mohou mít každý svojí bázi.

Nejvíce obecná je dimenze - ta určuje kolik vektorů minimálně potřebujeme na popis jednoho bodu v daném prostoru.

Dále báze - což je množina lineárně nezávislých vektorů, jsou to samotné vektory jež generují celý prostor. Jsou to vektory s nimiž generuji další vektory v prostoru.

Prostor - je to množina všech vektorů, které můžu z daných bázových vektorů poskládat. Spadají sem tedy nejen vektory báze, ale i veškeré vektory jež můžu vytvořit za pomocí vektorů bázových a za pomocí násobku reálných čísel. - Je to teoreticky vzato lineární obal.

Podprostor - podmnožina vektorového prostoru. Jsou to vektory, jež byly nějakým způsobem vyselektovány z prostoru. Jejich báze, pokud bych jí spočítal, se může lišit. Například v mém příkladě jsem počítal bázi podprostoru.

A co se týče určení báze, na příkladu výše, je můj postup správný?

vanok · 28. 03. 2016 17:06

Ahoj ↑ G.Jord:,
Treba upresnit priestor v ktorim pracujes, Asi tu ide o <M>? Cize asi o priestor generovany tvojimi vektormi tak v tomto cviceni mas viacej kriterii ktore mozes pouzit.
( ale treba aspon citovat pouzitu vlasnost!)
V tvojom pripade si mohol povedat, ze vies ze maticu a jej transpozovana maju rovnaku hodnost a preto.....
Alebo nejakej ine kriterium, napr. Ze determinant vytvoreny danymy 4 vektormy je nenulovovy preto ....

↑ Freedy:,
Povedal si podstatne, ale pozor!
V poslednej vete je lepsie povedat , ze ... tvoria tebou urrcenom poradi jednu bazu.... ( vsak v tomto priestore mas nekonecne vela moznosti vybrat jednu jeho bazu...)

Freedy · 28. 03. 2016 19:14

↑ vanok:
ano... je těžké vystihnout to podstatné, když to je naprosto zřejmé... -.-

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2016 14:41

Báze a určení báze

#2 28. 03. 2016 15:04

Re: Báze a určení báze

#3 28. 03. 2016 15:46 — Editoval G.Jord (28. 03. 2016 16:06)

Re: Báze a určení báze

#4 28. 03. 2016 17:06

Re: Báze a určení báze

#5 28. 03. 2016 19:14

Re: Báze a určení báze

Zápatí