Matematické Fórum

Bopinko · 28. 03. 2016 15:30

Zdravím, potreboval by som vedieť ako vyrátam tento rozvoj, teda pre tuto funkciu. Zadanie :

Nájdite 59-tu deriváciu funckie $y = x \cdot sin(3x^{2})$ v bode 0.

Nájdite 242-tu deriváciu funckie $y = \frac{x^{2}}{1-x^{3}}$ v bode $x = 0$

Rumburak

↑ Bopinko:
Ahoj.

Jde o to každou z daných funkcí rozvést v mocninnou řadu o středu 0, tj. tvaru $\Sigma_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ .
Tato mocninná řada pak bude MacLaurinovou řadou dané funkce, takže budou platit známe vztahy
mezi koeficienty $a_n$ a odpovídajícími hodnotami $f^{(n)}(0)$ .

A jak se ty mocninné řady zjistí: U první funkce využijeme známý McL. rozvoj funkce $g(u) = \sin u$ ,
u druhé rozvojem zlomku $\frac{1}{1-q}, |q|< 1$ v geometrickou řadu o kvocientu $q$ .

Indie · 29. 03. 2016 12:47

Ja by som napr. ten druhý príklad odhadla odvodením prvých pár členov, a odtiaľ vypozorovala ďalšie chovanie. Prvý člen rozvoja je nulový, druhý člen $x^{2}$ . Ďalší nenulový člen je až piaty, a to $x^{5}$ . A keby si skúšal ďalej, bude to ôsmy člen $x^{8}$ . Keďže nenulové členy sú $x^{2}$ , $x^{5}$ , $x^{8}$ , $x^{11}$ ,.. vyplýva ti z toho, že 242. člen bude tiež nenulový a rovný $x^{242}$ . Z toho môžeš odvodiť, že derivácia bude rovná $242!$ . A ak nemáš explicitne zadané, že to máš hľadať cez rozvoj, stačí ti hľadať postupnosť v deriváciách. Ale je pravda, že asi je lepšie a rýchlejšie hľadať všeobecný predpis :-)

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2016 15:30

Taylorove polynomy

#2 29. 03. 2016 12:13 — Editoval Rumburak (29. 03. 2016 14:55)

Re: Taylorove polynomy

#3 29. 03. 2016 12:47

Re: Taylorove polynomy

Zápatí