Matematické Fórum

nikko24 · 29. 03. 2016 08:22

Dobrý den,

mám problém s úkolem na vedení tepla.

Mám za úkol vytvořit program na výpočet vedení tepla (program není problém), problém je ten, že já nevím jak a co dosadit do vzorce. Na počátku mám vektor rozdělený na 10 stejných částí vektor je v čase 0 [20,20,20,20,40,40,20,20,20,20] Mám spočítat jak se teplo bude rozkládat do částí s nižší teplotou.
Koeficient tepelné vodivosti si zvolím sám dle tabulky.

Profesor mi načrtl tento vztah: $\frac{\partial u}{\partial t} + c*\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x } =0$

Mě napadlo akorát toto: $\frac{\partial T}{\partial t} - konst *\Delta T = f(x,y)$
Přičemž na $\frac{\partial T}{\partial t}$ dosadím čas první bude v čase 0 další iterace v čase 1 atd..
konst -> to je moje tepelná vodivost a $\Delta T$ je rozdíl ve vektorech tj. $T_{n+1}-T_{n} = \Delta T$ Nejsem si, ale jist zda je toto v pořádku.

Prosím o radu, popř kopnutí správným směrem.

Bati · 29. 03. 2016 11:07

Ahoj ↑ nikko24:.
Rovnice $\frac{\partial u}{\partial t} + c*\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x } =0$
a
$\frac{\partial T}{\partial t} - konst *\Delta T = f(x,y)$
znamenají to samé až na to, že v té první musí být $c<0$ a ve druhé jsi přidal $f$ , což by odpovídalo nějakým vnějším zdrojům tepla, o kterých ale nic nepíšeš. Taky nechápu jak ses od 1D rovnice dostal do 2D. Jestli máš zadaný vektor teplot na úsečce, tak jsi v jednorozměrném případě.

Dále nic nepíšeš o okrajových podmínkách. Jestli ti je jedno, jaká teplota je na okrajích (máš izolované konce), pak bys měl použít Neumannovy okrajové podmínky.

Taky z toho, co jsi napsal není moc jasné, jak to chceš řešit. Možností je víc. Obecná PDR se většinou řeší metodou konečných prvků. Protože jsi ale v 1D, nějaké diferenční schéma bude fungovat stejně dobře. Musíš ale napsat, jak přesně nahradíš ty derivace, protože to jde udělat i dost nešikovně. Jiná možnost by byla využít toho, že řešení umíme explicitně napsat jako určitou konvoluci. Stačilo by pak pouze numericky spočítat integrál. Další přístup je pomocí Fourierových řad.

nikko24 · 29. 03. 2016 15:33

Přesné zadání znělo takto mám třeba železnou tyč o nějaké délce. Na té tyči si vytvořím interval od 0 do 1 a tento interval si rozdělí na třeba 10 pod intervalů. Tyč (interval od 0 do 1) na každém kousku má 20°C poté vezmu prostředek a ohřeji ho na 40°C. Můj úkol je spočítat a zobrazit na grafu jak se to teplo rozkládá do chladnějších částí.

Tj. počáteční podmínky jsou 20°C na obouch stranách intervalu. Moje $c < 0$ . Ta funkce f tam asi být nemusí.

Sám jsem z toho zmaten, protože matikář mi řekl první vztah co jsem napsal a s fyzikářem jsme došly k druhému.

Názorný obrázek //forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/58339_graf.PNG
Té modré čáry úplně vespod si prosím nevšímej.

Jde mi o ty oblouky co jsem domaloval. Ty oblouky já musím dopočítat.

Snad jsem to objasnil už dobře, pokud by mě něco napadlo tak to sem dopíšu.

Bati · 30. 03. 2016 11:40

↑ nikko24:
No aspoň jsme si ujasnili tu rovnici, ale jinak už jsem všechno věděl, ptal jsem se na
1) Okrajové podmínky (ne počáteční).
2) Metodu, jakou to plánuješ řešit.
Bez toho se nepohneme.

To, co naznačuje ten obrázek, by znamenalo, že na krajích držíš nějakým způsobem konstantní teplotu 20. To by odpovídalo nehomogenním Dirichletovým okr. podmínkám. Pokud bys měl izolovaný konec, postupem času by se ohřál na něco mezi 20 a 40. Tomu by odpovídaly Neumanovy okr. podmínky.

Ještě mě trochu zarazilo, jak jsi z té počáteční podmínky udělal spojitou funkci. Nevím, jak přesně bylo myšleno zadání, ale tahle rovnice si poradí i s nespojitou poč. podmínkou.

nikko24 · 31. 03. 2016 17:41

↑ Bati:
Okrajové podmínky jsou ty Neumanovy okr. podmínky, protože já tam prostě mám těch 20°C na začátku a pak se to může ohřát třeba na 21°C nebo i víc, ale pod 20°C to nikdy nespadne. Já mám ten interval zadán na 20°C pak ohřeji střed na 40°C, ale nemusím řešit ohřátí na těch 40°C ty tam prostě jsou. Metodou nevím jako plánovat jsem v tom zamotaný.

Počátek je tam červená čára to je vektor původních hodnot.

Snad jsem to dopsal všechno.`

pietro · 09. 04. 2016 12:47

↑ nikko24: Ahoj, niečo podobné aj tu
Odkaz

nikko24 · 10. 04. 2016 16:04

↑ pietro:

Ahoj, díky, ale s matlabem moc neumím, takže mi to moc nepomohlo.

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2016 08:22

Rovnice vedení tepla

#2 29. 03. 2016 11:07

Re: Rovnice vedení tepla

#3 29. 03. 2016 15:33

Re: Rovnice vedení tepla

#4 30. 03. 2016 11:40

Re: Rovnice vedení tepla

#5 30. 03. 2016 12:21 Příspěvek uživatele nikko24 byl skryt uživatelem nikko24. Důvod: duplicita

#6 31. 03. 2016 17:41

Re: Rovnice vedení tepla

#7 09. 04. 2016 12:47

Re: Rovnice vedení tepla

#8 10. 04. 2016 16:04

Re: Rovnice vedení tepla

Zápatí