Matematické Fórum

math.oaf · 21. 04. 2009 21:57

Zdravim vsetkych, mam problem s touto ulohou:
pomocou porovnavacieho kriteria overte konvergenciu radu $\sum_{n=1}^{ \infty}\frac{1}{ 4^{\sqrt{n}}}$ , dik za kazdu radu.

lukaszh

↑ math.oaf:
Všeobecne porovnajme ľubovoľný rad $\rm{\Sigma}a_n$ s radom $\rm{\Sigma}(1/n^p)$ .
$a_n\le\frac{1}{n^p}$
Ak bude toto platiť, pričom $p\,>\,1$ , potom rad $\rm{\Sigma}a_n$ konverguje.
$n^p\le\frac{1}{a_n}\;\Rightarrow\;p\le\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n}\,;\;n\,>\,1$

Pre tvoj rad budem porovnávať s konvergentným radom $\rm{\Sigma}(1/n^2)$ .
$2\le\frac{\ln4^{\sqrt{n}}}{\ln n}=\frac{\sqrt{n}}{\ln n}\cdot\ln 4$
Vezmem limitu
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\ln n}=\infty$
l'Hospitalom zistíš, že diverguje. Teda aj uvedená nerovnosť, je pre určité veľké n väčšia ako 2. Pre aj pôvodný rad konverguje.

Logaritmické pravidlo: Nech rad $\rm{\Sigma}a_n$ je rad s nezápornými členmi. Ak
$\liminf_{n\to\infty}$\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n}$\,>\, 1$
potom tento konverguje.

math.oaf · 22. 04. 2009 08:14

↑ lukaszh:
dik velmi si mi pomohol

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2009 21:57

konvergencia radu

#2 21. 04. 2009 23:20 — Editoval lukaszh (21. 04. 2009 23:20)

Re: konvergencia radu

#3 22. 04. 2009 08:14

Re: konvergencia radu

Zápatí