Matematické Fórum

Vickey · 05. 04. 2016 20:28 — Editoval Vickey (05. 04. 2016 20:30)

Nevím si rady s tímto příkladem:

$\int_{-2}^{3}\frac{x}{x^{2} + 1}$

Můj postup:

$\int_{-2}^{3}\frac{1}{x^{}}+x = [lnx + \frac{x^{2}}{2}] = (ln3 + \frac{9}{2}) - (ln2 + 2) = ln3 - ln2 + 2,5$

Nevím, zdali mám dobře postup a jestli ano, tak pak nevím jak dál..

Budu vděčná za jakoukoliv radu, děkuji :)

Al1 · 05. 04. 2016 20:43

↑ Vickey:

Zdravím,
chyba je hned na začátku výpočtu

$\frac{x}{x^{2} + 1}\neq \frac{1}{x}+x$ , vždyť si zkus pravou stranu opět převést na společného jmenovatele.

Zde je lepší užít substituci
$x^{2}+1=t\nl 2x\ dx=\ dt\nl x\ dx=\frac{1}{2}\ dt$

A nezapomeň také změnit meze pro proměnnou t

Vickey · 05. 04. 2016 20:46 — Editoval Vickey (05. 04. 2016 20:47)

↑ Al1:

Aha :/ dobře zkusím substituci. Děkuji :)

A můžu se zeptat ještě na tento? Co by se dalo udělat?

$\int_{-3}^{3}\sqrt{2x+10}dx$

Al1 · 05. 04. 2016 21:00

↑ Vickey:

Opět substituce $2x+10=t$

Integruješ složenou funkci ( máš zde součin složené funkce s derivací vnitřní funkce), pak se vnitřní funkce nahradí novou proměnnou

Vickey · 05. 04. 2016 21:02 — Editoval Vickey (05. 04. 2016 21:06)

↑ Al1:

Aha,... snažím se teď počítat a vůbec nevím, jak poznat, kdy použít substituci... když je fce složená?

Al1 · 05. 04. 2016 21:20

↑ Vickey:

Ano,

$\int_{}^{}f(g(x))\cdot g'(x) \ dx$ je řešen substitucí
$g(x)=t\nl g'(x) \ dx=\ dt$ a vede na $\int_{}^{}f(t) \ dt=F(t)+c=F(g(x))+c$

př.

$\int_{}^{}\color{red}2x\color{black}\cdot \sin (x^{2})\color{red}\ dx\color{black}=|x^{2}=t, \color{red}2x \ dx=\ dt\color{black}|=\int_{}^{}\sin t \ dt=-\cos (t)+c=-\cos (x^{2})+c$