Matematické Fórum

Katus0 · 22. 03. 2016 22:29

Dobrý večer,
chtěla bych vás moc poprosit o radu s následujícím příkladem:

Na úsečce délky l se náhodně zvolí dva body. Jaká je pravděpodobnost, že jejich vzdálenost bude menší než k*l, kde 0<k<1?

Vím, že ta výsledná pravděpodobnost je rovna podílu počtu příznivých jevů vůči všem. Nakreslila jsem si následný obrázek, tak jak si myslím, že zadání graficky vypadá postupně pro k= 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 a 0,9

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/81838_12498934_999309566829581_1939247629_n%2B%25281%2529.jpg

Myslím si, že výsledku dosáhnu tak, že jako počet všech možností vemu obsah celé plochy - tedy l na druhou. Ale s počtem příznivých možností si nevím rady. Myslím si, že protože je to proměnlivé, musí jít o nějaký integrál z v těch mezích 0 až 1? Zkoušela jsem ale integrál z k*l podle l i k, ale to nevychází (výsledek má být k*(2-k)) a bohužel si nevím rady, prostě nevidím podle jaké funkce mám integrovat, je-li vlastně ten můj postup s integrací vůbec správný.

Děkuji za všechny rady, příjemný zbytek večera :)

Jj · 22. 03. 2016 22:55 — Editoval Jj (22. 03. 2016 23:03)

↑ Katus0:

Zdravím.

Kromě závěru uvažujete správně. Geometrická pravděpodobnost:

- mírou možných případů je plocha čtverce o straně l,
- míra příznivých případů je závislá na 'k' (to není nic proti ničemu, takže se nic neintegruje nebo jinak neřeší),

- hledaná pravděpodobnost je podílem míry příznivých a míry možných případů (l se vykrátí, závislost na k zůstane).

Chápejte zadání tak, že hodnota 'k' se náhodně nevolí, ta se určí a k této hodnotě se stanoví příslušná pravděpodobnost.

Edit - doplněno:

Až teď jsem si všiml, že uvádíte i konkrétní výsledek k(2-k). Ano, takový výsledek vyjde podílem ploch výše uvedených a i Vámi specifikovaných,

Katus0 · 23. 03. 2016 13:03

Děkuji mnohokrát za odpověd,

pokusila jsem se to tedy vypočítat tak, že jsem si udělala na osách obecnou vzdálenost k mezi 0 a l a snažila se to vypočítat přes obsahy jednotlivých útvarů následovně:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/34353_12596180_999863826774155_1270076924_n.jpg

nejprve obsah těch malých zelených trojuhelníku, potom pomocí nich obsah červené oblati. Nakonec jsem jako pravděpodobnost udělala podíl obsahu červené oblasti vůči l na druhou. Bohužel mi to stále nevychází, mohl byste se prosím podívat, zda je tento postup už správně a jde pouze o mé počítání.

Děkuji mnohokrát za velice užitečné rady :)

Jj · 23. 03. 2016 14:14

↑ Katus0:

Jen drobnost - délka strany "trojúhelníčku" je 'l - k*l'.

Katus0 · 23. 03. 2016 22:27

Mnohokrát děkuji za všechny rady! :)

pampeliska020 · 06. 04. 2016 17:15

↑ Jj: Smím se zeptat proč je strana toho trojuhelníčku 'l - k*l' ?

Děkuji :)

Jj · 06. 04. 2016 19:23 — Editoval Jj (06. 04. 2016 19:24)

↑ pampeliska020:

Úloha zní:

"Na úsečce délky l se náhodně zvolí dva body. Jaká je pravděpodobnost, že jejich vzdálenost bude menší než k*l, kde 0<k<1".
Vzdálenost zvolenlých bodů x, y na uvedené přímce tudíž musí splňovat vztah $|x-y|< k \cdot l$

Při znázornění úlohy v kartézských souřadnicích je

- množina všech možností volby uvedených dvou bodů vymezena oblastí čtverce $0 < = x <= l, 0<= y <= l$ ,
- množina příznivých případů volby bodů v uvedeném čtverci vymezena vztahem $|x-y|< k\cdot l$ .

Dejte si to graficky dohromady a máte odpověď.

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2016 22:29

Pravděpodobnost vzdálenosti

#2 22. 03. 2016 22:55 — Editoval Jj (22. 03. 2016 23:03)

Re: Pravděpodobnost vzdálenosti

#3 23. 03. 2016 13:03

Re: Pravděpodobnost vzdálenosti

#4 23. 03. 2016 14:14

Re: Pravděpodobnost vzdálenosti

#5 23. 03. 2016 22:27

Re: Pravděpodobnost vzdálenosti

#6 06. 04. 2016 17:15

Re: Pravděpodobnost vzdálenosti

#7 06. 04. 2016 19:23 — Editoval Jj (06. 04. 2016 19:24)

Re: Pravděpodobnost vzdálenosti

Zápatí