Matematické Fórum

kryštof · 07. 04. 2016 23:24

Ahoj, potřeboval bych si jen vyjasnit něco o kvadratických formách. Za prvé, k jedné kvadratické formě q na prostoru V existuje více než jedna bilineární forma, která ji vytváří, je to tak (napadá mě, pokud jsou dvě různé bilineární formy f a g zadány svými obrazy na bázi M={v_1,...,v_n} takto: $f(v_i,v_j)=a_{ij}$ , $g(v_i,v_j)=a_{ji}$ , potom obě vytváří stejnou kvadratickou formu na V)? A pokud to tak je, tak tedy jedna kvadratická forma může mít vzhledem k jedné bázi více než jednu matici, to znamená, že matice kvadratické formy vzhledem k dané bázi není něco apriori daného, na rozdíl od třeba matice bilineární formy.(?) Děkuju :)

Rumburak

↑ kryštof:

Ahoj.

Pokusím se trochu to rozebrat.

Kvadratickou formu lze vyjádřit ve tvaru $q(x) = x^TAx$ , kde $x$ je sloupcově zapsaný vektor z $\mathbb{R}^n$ ,
$A$ matice (z reálných čísel) typu $(n, n)$ . Zajímá nás, zda lze matici $A$ nahradit maticí $B\ne A$ téhož typu
jako $A$ tak, aby se kvadr. forma $q$ jakožto funkce vektoru $x$ nezměnila. Má tedy být identicky splněna
rovnice $x^TAx = x^TBx$ , tj. $0 = x^TAx - x^TBx = x^T(Ax - Bx) = x^T(A-B)x$ .

Jde tudíž o to, zda existuje nenulová matice $C$ požadovaného typu taková, aby identicky platilo $x^TCx = 0$ .

Positivní příklad snadno najdeš v dimensi $n = 2$ a není problém ho přenést do libovolné dimense vyšší.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kryštof · 08. 04. 2016 11:56

↑ Rumburak:
Pokud C bude matice lineárního zob., které otočí x okolo počátku o pi/2, jak píšeš, potom x^TCx je standardní skalární součin dvou kolmých vektorů, tedy bude nula. A ten můj původní nápad, kdy vlastně B=A^T, ten sice asi nemá takovou geometrickou interpretaci, ale fungoval by taky, ne? Protože potom $x^T(A-A^T)x=\sum_{i,j=1}^{n}(a_{ij}-a_{ji})x_ix_j=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j-\sum_{i,j=1}^{n}a_{ji}x_ix_j=0$ . Ještě děkuju za odpověď

Rumburak · 08. 04. 2016 12:09

↑ kryštof:

Zdá se, že ano. Přiznám se, že se mi moc nechtělo jít do takovýchto podrobných výpočtů,
tak jsem se snažil najít něco jednoduššího :-).

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2016 23:24

otázka na kvadratické formy

#2 08. 04. 2016 10:21 — Editoval Rumburak (08. 04. 2016 11:44)

Re: otázka na kvadratické formy

#3 08. 04. 2016 11:56

Re: otázka na kvadratické formy

#4 08. 04. 2016 12:09

Re: otázka na kvadratické formy

Zápatí