Matematické Fórum

nous3k · 09. 04. 2016 20:10

Ahoj, mám následující zadání: https://gyazo.com/29d466baf82dc73fc3184e42e219f989

a vůbec nevím, jak se u tohoto typu příkladu postupuje. Chyběl jsem na toto cvičení a blíží se zápočet. Mohl byste prosím někdo napsat řešení, popřípadě třeba odkaz na podobný příklad? Nic jsem nenašel. Děkuji :-)

Freedy · 09. 04. 2016 20:33

Ahoj, kazde linearni zobrazeni mezi aritmetickymi vektory lze popsat matici. Rovnez bys mohl overit jednotlive podminky pro lin. zobrazeni.
Co se tyce ostatniho, zobrazeni je proste, pokud ma kazdy vektor z Im A prave jeden vzor. To se da urcit napriklad z regularity matice A... Atd.

Pritt · 09. 04. 2016 21:04 — Editoval Pritt (09. 04. 2016 21:18)

↑ nous3k:

Zdravím, pokud VŮBEC nevíš a blíží se zápočet doporučil bych podívat se na jednotlivé definice a věty přímo s tím související- Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení v bázích, jádro a hodnost zobrazení, druhá věta o dimenzi, věta o vztahu jádra a prostoty zobrazení.

Přeci jen načrtnu, jak by si měl zhruba postupovat, alespoň u některých bodů.
1) Rozhodnout, jestli je zobrazení lineární, znamená ověřit linearitu tohoto zobrazení. Tedy musí platit dvě věci:
a) homogenita:
$(\forall \vec x \in V)(\forall \alpha \in T)(L(\alpha \vec x) = \alpha\cdot L(\vec x))$
b) aditivita:
$(\forall \vec x, \vec y \in V)(L(\vec x + \vec y) = L(\vec x) + L(\vec y))$

Konkrétně pro tebe : $V = \mathbb{R}^3$ a $T = \mathbb{R}$

2) Matice lineárního zobrazení - tam opravdu vyčteš všechno z definice.
3) Zase - definice jádra zobrazení:
$ker(L) = \{ \vec x\in V| L(\vec x) = \vec 0\}$
pozn: $\vec 0 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\0\end{pmatrix}$
Protože tvoje zobrazení L zobrazuje $L : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ slovy: zobrazení L "bere" vektory z R^3 a vrací taktéž vektory z R^3.
Dimenze jádra : viz 2. věta o dimenzi např.

4) Věta(o prostotě a jádra zobrazení) říká, že pokud $ker(L) = \{ \vec 0\}$ pak je L prosté. Nebo taky pokud hodnost L $h(L) = dim(V)=dim(\mathbb{R}^3)=3$ se rovná dimenzi prostoru, ze kterého zobrazení L "bere" vektory, tak je zobrazení L prosté.