Matematické Fórum

DavidMath · 07. 02. 2016 17:10

Dobrý den,
měl bych dotaz ohledně průběhu funkce tohoto zadání:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-02/60561_12714492_1231928780154548_2145979241_n.jpg

Jde o to, že už v prvním kroku, tedy určit definiční obor, nevím, jak postupovat a jak D(f) vyjádřit:

1. podmínka je logaritmus - tedy:

2. podmínka je pod zlomkem (ve jmenovateli)

A nyní co? Když chci vyjádřit 1. podmínku, absolutně nevím jak, protože když vynásobím jmenovatelem, zbyde 1 > 0, žádná proměnná takže nevím, co to znamená...
Když vyjádřím podmínku ze zlomkem, tak je to 1 + 3x^2 = 0, tedy 3x^2 = -1, tedy x^2 = -1/3
takže x = +- (plus mínus) odmocnina z 1/3?
To je blbost ne?

To je základní krok, který mi brání v dalších krocích, protože jakmile chci vypočítat průsečíky s osami x a y, dostanu se do podobné situaci, to samé u 1. derivace (kdy ji zderivuji a položím nule, chci tedy najít stacionární body - jenže zase nevím, jak vyjádřit dané body na ose). To samé je s 2. derivací a položení nule a tím pádem se nepohnu nikam...

kdyby se někomu moc chtělo mi poradit, mohl by mi vypočítat opravdu hlavně definiční obor a podmínky:
a) průsečiky s osami - x: položím nule, y: za x dosadit 0
b) 1. derivaci a položit ji nule - vypočítat stacionární body
c) 2. derivace položit ji nule - vypočítat konvexnost, konkávnost a popřípadě inflexní body...
d) atd...

Byl bych moc vděčný za tyto kroky, děkuji moc

Al1 · 07. 02. 2016 17:34

↑ DavidMath:

Zdravím,

jesltiže předpokládáme, že máme funkci reálné proměnné, pak obě podmínky jsou splněny pro všechna reálná čísla. Proto $D=\mathbb{R}$

DavidMath · 09. 04. 2016 18:34

↑ Al1:
Zadaný příklad bylo vypočítejte průběh funkce...

Samozřejmě bych byl rád, kdybyste se mnou tento příklad probrali, protože dotyčný vyučující miluji příklady s Logaritmem a éčkem, takže bych se rád na opravnou zkoušku připravil :-)

1) K tomu definičnímu oboru. Jak jej tedy vyjádřím z těch podmínek, které jsem uvedl a vyjádřil?
Nevím, jak pokračovat s podmínkami dále, abych se dopátral dalším krokům?

2) Jaký bude průběh funkce daného příkladu?

Děkuji

Al1 · 09. 04. 2016 18:50

↑ DavidMath:

$\frac{1}{1+3x^{2}}>0$

Čitatel je kladný a a jmenovatel také. Tato nerovnost je splněna pro všechna reálná čísla.

$1+3x^{2}\neq0$ Tato nerovnost je splněna pro všechna reálná čísla, neboť
$x^{2}\ge 0\nl 3x^{2}\ge 0\nl 1+3x^{2}\ge 1$
Závěr: definičním oborem dané funkce jsou všechna reálná čísla $D=\mathbb{R}=(-\infty ; \infty )$

Pro stanovení průběhu funkce je třeba spočítat několik kroků. Podívej se např.

sem

DavidMath · 09. 04. 2016 18:57

↑ Al1:
Tu druhou podmínku nechápu, pokud je 1 + 3x^2 = 0, tedy 3x^2 = -1, tedy x^2 = -1/3
takže x = +- (plus mínus) odmocnina z 1/3?

Proč ?

Al1 · 09. 04. 2016 19:12 — Editoval Al1 (09. 04. 2016 19:21)

↑ DavidMath:

Umíš odmocnit -1/3? Já tedy v oboru reálných čísel ne.

Když se podíváš na graf funkce $y=1+3x^{2}$ , celá parabola leží nad osou x, tedy nenajdeš žádné x takové, aby byl výraz $1+3x^{2}$ nulový či dokonce záporný. Ať za x dosadíš jakékoli reálné číslo, vždy ti vyjde kladný výsledek.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

DavidMath · 09. 04. 2016 20:29

A když chci vyjádřit z rovnice x, jaké budou tedy kroky? Pořád mě to vede k tomu, co jsem psal...

Když 1 + 3x^2 = 0,
tedy 3x^2 = -1
jak vyjádřím tedy x z těchto kroků?

Děkuji ;)

Al1 · 09. 04. 2016 20:33 — Editoval Al1 (09. 04. 2016 20:34)

↑ DavidMath:

Bohužel, už nevím, jak lépe vysvětlit, že rovnice 1 + 3x^2 = 0 nemá v oboru reálných čísel žádné řešení. Když si spočítáš diskriminant, vyjde záporné číslo. To v oboru reálných čísel nelze odmocnit, rovnice tudíž nemá žádné řešení. Výraz $1+3x^{2}$ není roven nule pro žádné reálné číslo.

DavidMath · 09. 04. 2016 20:39

No takže když nemá žádné reálné číslo, tedy neexistuje, tak jak může být kompletní definiční obor všechna reálná čísla?

Jste psal, že pro 1 + 3x^2 jsou všechna reálná čísla. Mě to ale tak nevychází, kdyby byla všechna reálná čísla, tak mi vyjde třeba 1 = 1; 5x = 5x atd.... Ovšem mě v této podmínce reálná čísla nevycházejí...

Vím, že když dosadím za x jakékoliv číslo, vždy dostanu nějaký výsledek, ovšem někdy jsou případy, kdy vlastně jsou rovnice podobné - tedy např. 2 + 3x^2 = 0 - zde už přeci musím vypočítat x, či ne?

Al1 · 09. 04. 2016 20:47 — Editoval Al1 (09. 04. 2016 20:51)

↑ DavidMath:

Nepleť si řešení lineární rovnice a rovnice kvadratické.

Ty máš výraz $1+3x^{2}$ a chceš vyřešit $1+3x^{2}\neq0$
Můžeš nejprve vyřešit rovnici $1+3x^{2}=0$ . Tato rovnice nemá žádné řešemí. Nenajdeš takové x, aby výraz byl roven 0. Ať dosadíš jakékoli reálné číslo, nedostaneš nikdy nulu. Proto $1+3x^{2}\neq0$ má nekonečně mnoho řešení.
Pro x=0. dostaneme hodnotu 1, pro x=-1, dostaneme hodnotu 4, pro x=-1. dostaneme hodnotu 4, pro x=10, dostaneme hodnotu 301, pro x=-10, dostaneme hodnotu 301 atd. Nikdy nevyjde nula, ať dosazujeme, co chceme.

Rovnice $2 + 3x^2 = 0$ nemá žádné řešení v R. Rovnice $3x^2-2 = 0$ má dvě řešení $\pm\sqrt{ \frac{2}{3}}$

Chtělo by to zopakovat si středoškolskou látku: řešení kvadratických rovnic a nerovnic. např.zde či zde

DavidMath · 09. 04. 2016 21:33

Mě to totiž přijde vlastně stejné, ty příklady, akorát s jiným číslem a to buď +1 nebo -2....
Takže proto netuším, proč u jedné se x nevyjadřuje a z té druhé vyjdařuje, přitom je tam rozdílné jen číslo jako konstanta ...

Děkuji

Al1 · 09. 04. 2016 21:43 — Editoval Al1 (09. 04. 2016 21:44)

↑ DavidMath:
Jenže ono to stejné není.

$3x^2-2 = 0\nl x^2=\frac{2}{3}$ druhá mocnina reálného čísla je rovna 2/3. Toto číslo lze odmocnit

$|x|=\sqrt{\frac{2}{3}}\nl x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Pokud bychom řešili $3x^2-2 \neq 0$ , pak
$x^2\neq \frac{2}{3}\nl |x|\neq\sqrt{\frac{2}{3}}\nl x\neq\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Pokud bychom tím řešili deiniční obor funkce např. $y=\frac{1}{3x^2-2}$ , pak definiční obor bude $D=\mathbb{R}\setminus\{\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\}$

$3x^2+1 = 0\nl x^2=-\frac{1}{3}$ druhá mocnina reálného čísla je rovna -1/3. Toto číslo nelze odmocnit. Rovnice nemá řešení

Pokud bychom řešili $3x^2+1 \neq 0$ , pak je tato nerovnici splněna pro aspoň jedno reálné číslo

Pokud bychom tím řešili deiniční obor funkce např. $y=\frac{1}{3x^2+1}$ , pak definiční obor bude $D=\mathbb{R}$

DavidMath · 09. 04. 2016 21:48

Hej super, díky :)
Dalo by se tedy polopaticky říci, že pokud rovnice nemá řešení, a nelze nějaké číslo odmocnit, tedy záporné, tak jsou všechna reálná čísla?

Děkuji, jste boží

Al1 · 09. 04. 2016 22:04

↑ DavidMath:

DavidMath napsal(a):
pokud rovnice nemá řešení, a nelze nějaké číslo odmocnit, tedy záporné, tak jsou všechna reálná čísla?

Bohužel, takto zjednodušit to nelze. Jaké číslo máš na mysli? Protože např.

rovnice $x^{2}-4x+5=0$ nemá řešení, její diskriminant je záporný, $x^{2}-4x+5\ge 0$ má nekonečně mnoho řešení, ovšem $x^{2}-4x+5\le 0$ nemá žádné řešení.

rovnice $x^{2}-4x-5=0$ má dvě různá řešení, její diskriminant je kladný, $x^{2}-4x-5\ge 0$ má nekonečně mnoho řešení v $(-\infty , -1\rangle\cup \langle5,\infty )$ , $x^{2}-4x-5\le 0$ má řešení v $\langle-1;5\rangle$

atd.

Opět doporučuji studium řešení kavdratických nerovnic.