Matematické Fórum

Tomin · 10. 04. 2016 19:39 — Editoval Tomin (11. 04. 2016 05:19)

Ahoj,prosím Vás, mohu se zeptatv jakém případě mohu těžiště počítat přes funkci,kterou mám v zadání a v jakém případě využit inverzní funkci? . Určete y-ovou souřadnici homogenního rovinného obrazce, který je ohraničený přímkami $x=0,y=2$ a částí křivky $y=-6x^2+5$ ležící v 1.kvadrantu.
- y-ová souřadnice je dána: $y_{T}=\frac{S_{x}}{m};S_{x}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}f^2(x)dx,m=\int_{a}^{b}f(x)dx$
-chtěl jsem řešit normálně $S_{x}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(5-6x^2)^2dx$ a $m=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(5-6x^2)dx$ . ovšem daný výsledek mi nevyšel. Tudíž jsem to zkoušel přes inverzní funkci $f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{5-x}{6}}$ a přes integrál $S_{x}=S_{y}^{*}=\int_{2}^{5}(x\cdot \sqrt{\frac{5-x}{6}})dx$ a $m=m^{*}=\int_{2}^{5}(\sqrt{\frac{5-x}{6}})dx$ a to mi již vyšlo.
Ve vzorcích to je pojmenováno jako statické momenty křivočarého lichoběžníka.Když jsem se snažil najít podobné vzorce na internetu,byl většinou křivočarý lichoběžník definován (nebo spíše popsán) jako jako rovinný obrazec ohraničení shora funkcí $f(x)$ ,přímkami $x=a,x=b$ a osou x.Převádím tedy danou funkci na její inverzní funkci právě kvůli tomuto?

Rumburak

↑ Tomin:

Ahoj.

Je potřeba rozlišit, co je věcí obecné torie a co je záležitostí konkretního výpočtu v konkretní situaci.

Je-li $M$ homogenní obrazec v rovině opatřené kartéskou soustavou souřadnic Pxy, potom souřadnice
jeho těžiště $T = [x_T, y_T]$ vyhovují snadno zapamatovatelným vztahům

$\iint_M (x-x_T) \d x \d y = 0 , \iint_M (y-y_T) \d x \d y = 0$ ,

z nichž plyne

(1) $x_T = \frac{1}{\lambda(M)} \iint_M x \d x \d y , y_T = \frac{1}{\lambda(M)} \iint_M y \d x \d y$ ,

je-li

(2) $\lambda(M) := \iint_M 1 \d x \d y > 0$ (jde o plošný obsah obrazce $M$ ).

Potud teorie. O nějaké inversní funkci tam není zmínky.

Počítáme-li integrály v (1) , (2), pak postupujeme tak, aby výpočet byl správný a pokud možno efektivní,
ale to už je záležitostí konkretního tvaru a polohy množiny $M$ a nedá se to dobře zobecňovat.
Napiš, se kterým z uvedených integrálů si zde nevíš rady a můžeme se na to podívat.

Tomin · 11. 04. 2016 12:12

↑ Rumburak:
Děkuji ;-) Zatím to je jako aplikace jedníduchého integrálu,takže bohužel se zde neberou v potaz integrály vícenásobné :-( Integrály,které jsem uvedl mi nedělali problém, ovšem zajímalo by mne,proč jsem například nemohl souřadnici počítat přes $S_{x}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(5-6x^2)^2dx$ ,ale celý případ vzít přes inverzní funkci $S_{x}=S_{y}^{*}=\int_{2}^{5}(x\cdot \sqrt{\frac{5-x}{6}})dx$ ,který mi příjde určitě složitější než ted první.

Rumburak

↑ Tomin:

Náš obrazec $M$ (pro jednoduchost bez hranice) můžeme vyjádřit dvěma ekvivalentními způsoby, a sice

(1) $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2 : $0 < x < \frac {\sqrt{2}}{2}$ \wedge (2 < y < 5-6x^2)\}$ ,

(2) $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2 : $2 < y < 5 $ \wedge $0 < x < \sqrt{\frac{5-y}{6}}$\}$ .

To se projeví ve dvojí možnosti uplatnit na dvojné uintegrály přes tuto množinu Fubiniovu větu (k převodu
dvorozměrné integrace na dvě navazující integrace jednorozměrné):

(1') $\iint_M g(x,y) \d x \d y = \int_{0}^{\frac {\sqrt{2}}{2}} $\int_{2}^{5-6x^2}g(x,y) \d y$ \d x$ ,

(2') $\iint_M g(x,y) \d x \d y = \int_{2}^{5} $\int_{0}^{\sqrt{\frac{5-y}{6}}}g(x,y) \d x$ \d y$

kde $g$ je libovolná funkce integrovatelná přes množinu $M$ . Tolik teorie. Když budeš postupovat podle ní,
tak to bude O.K. (oba uvedené postupy by měly dát tentýž výsledek).

Podotýkám, že v této úloze bude $g$ postupně některá z funkcí $[x, y] \mapsto x$ , $[x, y] \mapsto y$ , $[x, y] \mapsto 1$
(viz vzorce, které jsem uvedl ve svém předchozím příspěvku). Například pro funkci $[x, y] \mapsto y$ a první způsob
výpočtu máme

$\iint_M y \d x \d y = \int_{0}^{\frac {\sqrt{2}}{2}} $\int_{2}^{5-6x^2}y \d y$ \d x = \int_{0}^{\frac {\sqrt{2}}{2}}\[\frac{1}{2} y^2\]_{2}^{5-6x^2} \d x$ .

Zde máš ve svém výpočtu, myslím, chybu.

Tomin · 12. 04. 2016 10:22

↑ Rumburak:
Děkuji za rozsáhlý příspěvek,přes dvojný integrál to je v pořádku a je mi to jasné,ale bohužel ten příklad je na aplikaci jednoduchého určitého integrálu (kde se zatím bohužel nepředpokládá znalost integrálů vícerozměrných) .Ale opravdu moc děkuji ;-)

Rumburak

↑ Tomin:

Rozumět tomu bez znalosti dvojného integrálu mi ovšem připadá poněkud problematické.
Doufám, že se podařilo odhalit chybu v

$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(5-6x^2)^2dx$ ,

kde mělo být

$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$(5-6x^2)^2 - 2^2 $ dx$ .

Tomin · 12. 04. 2016 16:58

↑ Rumburak:
Ano,už vím ;-) děkuji ;-)

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2016 19:39 — Editoval Tomin (11. 04. 2016 05:19)

Souřadnice těžiště

#2 11. 04. 2016 10:02 — Editoval Rumburak (11. 04. 2016 10:26)

Re: Souřadnice těžiště

#3 11. 04. 2016 12:12

Re: Souřadnice těžiště

#4 11. 04. 2016 13:50 — Editoval Rumburak (11. 04. 2016 15:23)

Re: Souřadnice těžiště

#5 12. 04. 2016 10:22

Re: Souřadnice těžiště

#6 12. 04. 2016 10:52 — Editoval Rumburak (12. 04. 2016 11:32)

Re: Souřadnice těžiště

#7 12. 04. 2016 16:58

Re: Souřadnice těžiště

Zápatí