Matematické Fórum

nous3k · 11. 04. 2016 19:57 — Editoval nous3k (11. 04. 2016 20:01)

Ahoj,

mám problém se zadáním dvou úloh. První úloha: https://gyazo.com/4760da83623a33559ec18ce1e8af290b Druhá úloha: https://gyazo.com/2e3c767fb6054be1d26c6dbee53ff5d4

Chtěl bych se zeptat, jestli má pro mě nějaký význam to, že jsou matice transponované. Když jsme úlohy počítali ve škole, tak jsme v první úloze vektory přepisovali do řádků, ale v případě druhé úlohy jsme je přepsali do sloupců. Jsme tady z toho zmatený, poprosím někoho o vysvětlení :-D Děkuji

Pritt · 11. 04. 2016 20:51 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 20:55)

↑ nous3k:

Zdravím, podle mého názoru $\vec x = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = (a \; b \; c)^T$

takže v první úloze nevidím důvod, proč psát vektory do řádků. :) Ale třeba někdo doplní...

nous3k · 11. 04. 2016 20:53

↑ Pritt:Při výpočtu báze byly vektory v řádcích... Taky nevím proč :-(

Pritt · 11. 04. 2016 20:57 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:05)

↑ nous3k:

Tak ono nezáleží na tom, jestli jsou vektory psané v řádcích nebo sloupcích matice, pokud vyšetřuješ jejich lineární závislost-nezávislost. Výsledek bude stejný.

EDIT: nejspíše to dali do řádků, pro mírné zjednodušení při úpravách do trojúhelníkového tvaru.

Mohl by jsi sem poslat to řešení prvního příkladu tak, jak jste ho dělali ve škole?

Pritt · 11. 04. 2016 21:11 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:12)

a) vektory ve sloupcích:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 7 & -6 \\ 5 & 8 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & -15 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

b) vektory v řádkách
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \\ 1 & -6 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -6 & 1 \\ 0 & 15 & 3 \\ 0 & 25 & 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -6 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Takže vidíš, že obě matice mají jeden vedlejší sloupec - neboli jeden z vektorů je lineární kombinací ostatních, tedy všechny tři dohromady nemohou být báze $M = [\vec a, \vec b,\vec c]_\lambda$

nous3k · 11. 04. 2016 21:14

↑ Pritt:

Pritt · 11. 04. 2016 21:16

↑ nous3k:

Předpokládám, že parametr $p$ jste zjišťovali už z matice s vektory ve sloupcích.. nebo ne? :D

nous3k · 11. 04. 2016 21:18 — Editoval nous3k (11. 04. 2016 21:21)

↑ Pritt: ano, u výpočtu parametru p jsou ty výsledné dva řádky zase přepsány do sloupců. Nicméně nechápu proč tomu tak je :-D

Pritt · 11. 04. 2016 21:27 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:47)

↑ nous3k:

Dobrá je to trochu chaos, ale dejme tomu.
Jinak shrnutí: pokud testuješ zda-li jsou vektory LZ(LN), tak nezáleží na tom, jestli je zapíšeš do řádků nebo do sloupců. Výsledek musí být stejný.

Pokud si v prvním příkladu napíšeš matici s vektory ve sloupcích a navíc ji rozšíříš o další sloupec, což bude vektor $\vec d$ , tak potom vyřešíš úlohu celou díky pouze jedné matici. Zjistíš, které vektory vyloučit, aby ostatní tvořily bázi. Tím hned zjistíš dimenzi M a navíc bude hned možné zjistit parametr $p$ .

Pritt · 11. 04. 2016 21:56 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:58)

↑ Pritt:

K tomu jak zjistit ten parametr a proč to tak zapsat:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 7\\ 3 & 7 & -6 & -2\\ 5 & 8 & 1 & p \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 7\\ 0 & 5 & -15 & -25\\ 0 & 0 & 0 & 10p-150 \end{pmatrix}$

Z toho vidíš (pokud jsem dobře počítal), že $10p -150 = 0$ aby to byl vektor, který je LK kombinací vektorů $\vec a, \vec b$ , protože pak $\vec d \in M$ .
Protože množina $M$ není nic jiného než množina všech LK kombinací vektorů $\vec a, \vec b$

nous3k · 11. 04. 2016 21:57

↑ Pritt: No, nám ve škole parametr p vyšel 15

Pritt · 11. 04. 2016 21:58 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 22:02)

↑ nous3k:

Už jsem tu chybku našel :-)
Už je to jasnější?
Protože kdyby $p \ne 10$ potom by matice měla 3 hlavní sloupce, tedy vektory $\vec a,\vec b,\vec d,$ by byly LN, což znamená, že $\vec d \not\in M$

nous3k · 11. 04. 2016 22:09

↑ Pritt:Pořád mi nějak nedochází, kdy by to mělo bejt v řádcích a kdy ne :-D Já si ani nejsem vědom, že by jsme zjišťovali lineární závislost. Myslel jsem, že jen počítáme bázi a LZ se zjišťuje přes determinant nebo ne??

Pritt · 11. 04. 2016 22:23 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 22:24)

↑ nous3k:

Ano - LZ/LN vektorů lze zjistit výpočtem determinantu, nicméně zde to není potřeba.

Budeme stále u prvního příkladu:
Máš dané 3 vektory a nyní otázky:
1) Určit nějakou bázi podprostoru M.
M je lineární obal vektorů $\vec a, \vec b, \vec c$ .
Co znamená dim M? dim M je počet LN vektorů z M. Proto zjišťuješ, jestli jsou ty vektory LZ nebo LN. Zjistíš, že pouze 2 z nich jsou LN a to sice $\vec a$ a $\vec b$ . Tedy $dim M=2$
Proto báze podprostoru M musí být tvořena právě dvěma LN vektory z M. Tedy báze M je soubor $(\vec a, \vec b)$ .

2) určit neznámou p tak, aby $\vec d \in M$ .
Musíš si uvědomit, že pokud by vektor $\vec d$ nebyl lineární kombinací vektorů a,b tak je to to samé, jako že vektor d neleží v M.

nous3k · 11. 04. 2016 22:57

↑ Pritt:Už asi chápu, díky moc za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2016 19:57 — Editoval nous3k (11. 04. 2016 20:01)

Matice - nesrovnalost v zadání

#2 11. 04. 2016 20:51 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 20:55)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#3 11. 04. 2016 20:53

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#4 11. 04. 2016 20:57 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:05)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#5 11. 04. 2016 21:11 — Editoval nous3k (11. 04. 2016 21:12) Příspěvek uživatele nous3k byl skryt uživatelem nous3k.

#6 11. 04. 2016 21:11 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:12)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#7 11. 04. 2016 21:14

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#8 11. 04. 2016 21:16

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#9 11. 04. 2016 21:18 — Editoval nous3k (11. 04. 2016 21:21)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#10 11. 04. 2016 21:27 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:47)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#11 11. 04. 2016 21:56 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 21:58)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#12 11. 04. 2016 21:57

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#13 11. 04. 2016 21:58 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 22:02)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#14 11. 04. 2016 22:09

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#15 11. 04. 2016 22:23 — Editoval Pritt (11. 04. 2016 22:24)

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

#16 11. 04. 2016 22:57

Re: Matice - nesrovnalost v zadání

Zápatí