Matematické Fórum

Statistik · 16. 04. 2016 17:14

Ahojte, chcel by som vyriesit integral $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx$ pomocou eulerovej substitucie, dalo by sato? alebo a ko doporucujete?

Al1 · 16. 04. 2016 17:17 — Editoval Al1 (16. 04. 2016 17:18)

↑ Statistik:

Zdravím,

Eulerova substituce $\sqrt{x^{2}+1}=x+t\nl x^{2}+1=x^{2}+2xt+t^{2}$ , vyjádři x a urči derivace

vanok · 16. 04. 2016 17:20 — Editoval vanok (16. 04. 2016 17:29)

Ahoj ↑ Statistik:,
Toto sa mi zda vyhodne.
$y=x+\sqrt{1+x^2}$
A tak
$dy=(1+\frac x{\sqrt{1+x^2}})dx=y\frac{dx}{\sqrt {1+x^2}}$

Statistik · 16. 04. 2016 17:24

takze by som mal pouzit asi $x+t=\sqrt{1+x^2}$ ?

byk7 · 16. 04. 2016 17:27

↑ Statistik:

Ano, ↑ vanok: nabízí trochu jinou metodu (uhodnutí) a pro to navrhuje zkusit zderivovat $y=x+\sqrt{1+x^2}$ .

vanok · 16. 04. 2016 17:30

↑ byk7:
Pridal som tu derivaciu... No to je az zazrak....ze

Statistik

neviem no, pocitam ako pocitam ale stale mi vychadza akasi blbost na papieri, no uz po niekolkych vypoctoch mi vysiel vysledok $ln |\sqrt{x^2+1}|$

Al1 · 16. 04. 2016 20:36

↑ Statistik:

po užítí rady kolegy ↑ vanok: (srdečně zdravím), řešíš

$\int_{}^{}\frac{1}{y}\ dy=\ln |y|+c=\ln |x+\sqrt{x^{2}+1}|+c$

vanok · 16. 04. 2016 21:50

Pozdravujem ↑ Al1:,
A na viac netreba ani |.|.

Statistik · 16. 04. 2016 21:59

takze x-ko som niekde stratil, skusim si to este zajtra prepocitat este raz .. a vanok preco tam nie je potrebna absolutna hodnota?

vanok · 16. 04. 2016 22:21

Lebo $y=x+\sqrt{1+x^2}>0$ pre kazde x.
Dobre ukoncenie.

Pochopitelne si aj ine metody na riesenie tohto cvicenia, ale tato sa mi zda elegantna....

Statistik · 17. 04. 2016 12:15

ake napr? metoda per partes zrejme nejde vyuzit, napada vas nieco dalsie?

Freedy · 17. 04. 2016 12:46

Ahoj,

definiční obor jsou všechna reálná čísla.
položíme-li
$x = \text{sinh}t$
potom
$\text{dx} = \text{cosh}(t)\text{dt}$
Máme tedy funkci
$\varphi (t)=\text{sinh}t$
pro tuto funkci platí, že
$\varphi '(t)>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$
a zároveň $\varphi ((-\infty ,\infty )) \longrightarrow (-\infty ,\infty )$
Tedy funkce $\varphi$ je na celém definičním oboru monotónní a zobrazuje interval $(-\infty ,\infty )$ na celý definiční obor původní funkce.
Lze tedy užít druhou větu o substituci, která říká, že za těchto podmínek ověřených výše lze daný integrál přepsat na:
$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\text{dx} \longrightarrow \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+\text{sinh}^2t}}\text{cosh}(t)\text{dt}$
Využitím vztahu
$1+\text{sinh}^2t=\text{cosh}^2t$
dostáváme
$\int_{}^{}\frac{\text{cosh}t}{|\text{cosh}t|}\text{dt}$
a protože
$\text{cosh}t>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$ tak můžeme absolutní hodnotu odstranit a máme jednoduchý integrál
$\int_{}^{}\text{dt}$