Matematické Fórum

Statistik · 18. 04. 2016 11:37

ahojte, mam spravne vyrieseny priklad?
$\int \sqrt{4x^2-8x+5} dx = \frac{(4x^2-8x+5)^\frac{3}{2}}{3/2}= \frac{2\sqrt{(4x^2-8x+5)^3}}{3}+C$

vanok · 18. 04. 2016 12:12

Ahoj ↑ Statistik:,
Nie ( skus derivovat tvoj vysledok a uvidis ze to nesedi).
Konstatuj, ze $\int \sqrt{4x^2-8x+5} dx =\int \sqrt{4(x-1)^2+1}dx$
Skus to vyuzit.

Statistik

neviem, nic ma nenapada .. zeby sme skusili substituciu $t=x-1$ ?
potom $dx=dt$ a dostavam $\int \sqrt{4t^2+1} dt=\frac{2\sqrt{4t^2+1)^3}}{3}+C$

vanok · 18. 04. 2016 13:02

↑ Statistik:
Nie, vsak to nie je tabulkova hodnota.
Pokracuj klasicky teraz poloz u=2t...
A vyhodnot tvoju transformaciu.

Statistik · 18. 04. 2016 13:24

ako nam pomoze substitucia $u=2t$ vo vyraze $\int \sqrt{4(x-1)^2+1}dx$ ?

Al1 · 18. 04. 2016 13:36

↑ Statistik:

Zdravím,
první substituce $t=x-1$ je užita správně a vede na $\int \sqrt{4t^2+1} dt$ . Teď užij novou substituci $u=2t$

Rumburak

↑ Statistik:
Ahoj.

substituce $u=2t$ v integrálu $\int \sqrt{4t^2+1} dt$ (převést na něj původní integrál byl dobrý nápad)
nám pomůže tím, že pak bude $4t^2 = u^2$ , což povede k dalšímu zjednodušení integrandu.

vanok · 18. 04. 2016 13:56 — Editoval vanok (18. 04. 2016 13:57)

Cize ako ti radime obaja ( ↑ Al1:, ja) mas transfiormovat
$\int \sqrt{4t^2+1} dt$
$u=2t$
Co da tiez $du=2dt$

Tu, ak ti to da pre teba znamy integral, je to skoro ukoncenie.( treba sa este vratit k x)
Ak nie mozes pouzit dalsiu substituciu. ...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Statistik

dostavam $1/2 \int \sqrt{u^2+1}du$ a co s tym dalej? dalsiu substituciu? napr. $v=u^2+1$ ? to nam asi moc nepomoze, kedze by som dostal $dv=2u$

Rumburak

↑ Statistik:
Ahoj.

Zde bych zavedl substituci $u = \sinh r$ (viz teoretické téma "hyperbolické funkce a vztahy mezi nimi").
Ale mohla by zabrat i některá z Eulrtových substitucí.

Statistik · 18. 04. 2016 14:49

hladam som na nete ako sa integruju taketo funkcie a nic som nenasiel

Freedy · 18. 04. 2016 15:01 — Editoval Freedy (18. 04. 2016 15:03)

↑ Statistik:
můžeš použít substituci, kterou navrhoval Rumburak.
$u =\text{sinh}(t)$
Potom
$\text{du}=\text{cosh}(t)\text{dt}$
Máme tedy, že $\varphi (t)=\text{sinh}(t)$
Definiční obor původní funkce jsou všechna reálná čísla.
Funkce $\varphi (t)$ zobrazuje interval reálných čísel NA interval reálných čísel a zároveň platí, že $\varphi '(t)>0$ pro libovolné t. Můžeš tedy použít druhou větu o substituci.

Druhý způsob, který taktéž navrhoval kolega Rumburak je Eulerova substituce.
Pod odmocninou máme ireducibilní polynom.
Položíme:
$\sqrt{x^2+1}=x+t$ pak (zde vidíme, že t musí být nezáporné)
$x^2+1=x^2+2xt+t^2$
$x=\frac{1-t^2}{2t}$
Nyní máme funkci
$\varphi (t)=\frac{1-t^2}{2t}$
Definiční obor původní funkce jsou reálná čísla. Potřebujeme tedy najít takové intervaly, které funkce fí zobrazí dohromady na celá reálná čísla.
Spočítáme tedy derivaci funkce fi:
$\varphi '(t)=\frac{-2(t^2+1)}{4t^2}$
Vidíme, že je pořád záporná pro t různé od nuly. Tedy funkce fi klesá (-nekonečno,0) a (0,nekonečno).
Vidíme, že stačí uvažovat pouze interval $(0,\infty )$ protože:
$\varphi ((0,\infty )) \longrightarrow (-\infty ,\infty )$

Tedy na intervalu $t\in (0,\infty )$ řešíme integrál:
$\int_{}^{}\bigg(\frac{1-t^2}{2t}+t\bigg)\frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\text{dt}$

Rumburak

↑ Statistik:

EDIT (oprava překlepů):
$\sinh r := \frac{e^r - e^{-r}}{2}$ (hyperbolický sinus) , $\cosh r := \frac{e^r - e^{-r}}{2}$ (hyperbolický kosinus).

Každá z nich je derivací té druhé , navíc $\cosh^2 r - \sinh^2 r = 1$ . Další vztahy mezi nimi si na webu snadno najdeš.

Jestliže v integrálu $\int \sqrt{u^2+1} \d u$ použijeme $u = \sinh r$ , bude $\sqrt{u^2+1} = \cosh r$ , $\d u = \cosh r \d r$
a tedy

$\int \sqrt{u^2+1} \d u = \int \cosh^2 r \d r$ .

Nyní můžeme třeba vyjádřit $\cosh^2 r$ pomocí funkce exponenciální a snedno provést integraci.
Poté se navrátíme od proměnné $r$ k proměnné $u$ (inversní funkci k $\sinh$ snadno najdeme pomocí přirozeného logaritmu).

Statistik

no po niekolkych vypoctoch mi vyslo $\frac{2x-2}{2sinh}$ je to spravne?

Rumburak

↑ Statistik:

To nevypadá jako správný výsledek. Jednak je pochybná formální stránka výrazu $\frac{1}{2sinh}(2x-2)$ ,
avšak i kdybychom zde přijali nějaký kompromis , např. $\frac{1}{2 \sinh(2x-2)}$ , pak derivováním toho
určitě nezískáme původni funkci $\sqrt{4x^2-8x+5}$ .

misaH · 18. 04. 2016 18:25

↑ Rumburak:

:-D

OT

Ale, ale, Rumburak - ypsilon po ž?

Rumburak · 19. 04. 2016 10:24

↑ misaH:

Díky za upozornění. Holt život tropí hlouposti :-) .

vanok · 19. 04. 2016 10:31

pozdravujem,
Aj s= tan t je dobra moznost. ( pisal som o nej uz vyssie)

Statistik

aky by bol postup pri $s=tan t$ ?

Rumburak · 19. 04. 2016 14:05

↑ Statistik:

$\int \sqrt{s^2+1} \d s = \int \sqrt{\tan^2 t+1} \frac{1}{\cos^2 t} \d t = \int \frac{1}{\cos^3 t} \d t = \\ = \int \frac{1}{\cos^4 t}\cdot \cos t \d t = \int \frac{1}{(1 - \sin^2t)^2}\cdot \cos t \d t = ...$

a dále substitucí $\sin t = w$ . Dojdeme tak k integrálu $\int \frac{1}{(1-w^2)^2} \d w$ ,
jehož integrand rozložíme na parciální zlomky atd. - viz integrace racionálních funkcí.

Statistik · 19. 04. 2016 16:56

no hej , racionalne viem riesit .. ale toto je trosku zlozitejsie tak si to musim nastudovat

vanok · 19. 04. 2016 17:30 — Editoval vanok (20. 04. 2016 02:22)

Pozdravujem ↑ Statistik:, ↑ Rumburak:
Aj ja som sa tu zastavil, ako kolega Rumbarak, lebo sa mi nechcelo pokracovat z tou racionalnou integraciou, ( poucenie: treba vediet, ze tan x casto pomoze).

Dalsie moznosti ( principy method)
Doplnok1.
$\frac 1{cos^3x} =\frac {sin^2x+cos^2x}{cos^3 x}$ sa napise ako sucet dvoch zlomkov a po malej uprave sa da pouzit integracia PP, na prvej casti ...

Doplnok 2.
$\frac 1 {cos^3 x}=\frac 1{cos x}.\frac 1{cos^2x}$
Tento sucin moze sa pouzit na inu plodnu integraciu PP
Vdaka:
$u=\frac 1{cos x}, dv=\frac 1{cos^2 x}dx$
$du=\frac{tan x}{cos x}dx, v= tan x$
a
$\tan^2 x= \frac 1{cos^2x}-1$

misaH · 19. 04. 2016 18:44

↑ Rumburak:

:-)

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2016 11:37

integral priklad

#2 18. 04. 2016 12:12

Re: integral priklad

#3 18. 04. 2016 12:21 — Editoval Statistik (18. 04. 2016 12:28)

Re: integral priklad

#4 18. 04. 2016 13:02

Re: integral priklad

#5 18. 04. 2016 13:24

Re: integral priklad

#6 18. 04. 2016 13:36

Re: integral priklad

#7 18. 04. 2016 13:47 — Editoval Rumburak (18. 04. 2016 13:55)

Re: integral priklad

#8 18. 04. 2016 13:56 — Editoval vanok (18. 04. 2016 13:57)

Re: integral priklad

#9 18. 04. 2016 14:29 — Editoval Statistik (18. 04. 2016 14:31)

Re: integral priklad

#10 18. 04. 2016 14:44 — Editoval Rumburak (18. 04. 2016 14:50)

Re: integral priklad

#11 18. 04. 2016 14:49

Re: integral priklad

#12 18. 04. 2016 15:01 — Editoval Freedy (18. 04. 2016 15:03)

Re: integral priklad

#13 18. 04. 2016 15:11 — Editoval Rumburak (19. 04. 2016 10:52)

Re: integral priklad

#14 18. 04. 2016 15:26 — Editoval Statistik (18. 04. 2016 15:36)

Re: integral priklad

#15 18. 04. 2016 15:40 — Editoval Rumburak (19. 04. 2016 10:23)

Re: integral priklad

#16 18. 04. 2016 18:25

Re: integral priklad

#17 19. 04. 2016 10:24

Re: integral priklad

#18 19. 04. 2016 10:31

Re: integral priklad

#19 19. 04. 2016 11:15 — Editoval Statistik (19. 04. 2016 11:15)

Re: integral priklad

#20 19. 04. 2016 14:05

Re: integral priklad

#21 19. 04. 2016 16:56

Re: integral priklad

#22 19. 04. 2016 17:30 — Editoval vanok (20. 04. 2016 02:22)

Re: integral priklad

#23 19. 04. 2016 18:44

Re: integral priklad

Zápatí